前言

一个推式子的题目.题目给你三个杯子,以及一个币,开始的时候币在中间杯子,每次你都可以控制两侧杯子和中间杯子交换,问你 ${n}$ 次之后在中间杯子的概率.其中 ${n=\Pi{a_i}}$ .

思路

粗略的想一想会发现,分母是 ${2^n}$ ,因为下一层状态数一定是上一层的两倍.
假设我们令 ${f_i}$ 表示到了第 ${i}$ 次, ${010}$ 的状态数,很显然的是 ${010}$ 一定不可以产生 ${010}$ ,而其他每次一定可以产生一个 ${010}$ ,那么

${f_{i+1}=2^i-f_i}$ . ${f_i=Ans_i*2^i}$

而我们要求的是 ${Ans}$ ,那么 ${Ans_{i+1}=f_{i+1}/2^{i+1}=(2^i-Ans_i*2^i)/2^{i+1}=1/2-Ans_i/2}$ ,仔细点会发现是个等比差数列.

${Ans_{i+1}=-Ans_i/2+1/2}$ ,两边同时 ${-1/3=>Ans_{i+1}-1/3=-Ans_i/2+1/6}$ ,把 ${B_i=Ans_i-1/3}$ ,那么原式就等于 ${B_{i+1}/B_i=-1/2}$ , ${Ans_1=0,B_1=-1/3.B_n=-1/3*(-1/2)^{n-1}.}$

${Ans_n=-1/3*(-1/2)^{n-1}+1/3}$ .
然后就是分 ${n}$ 为奇数和偶数讨论一下符号了,以及最简式子.
假如 ${n}$ 是奇数:

${Ans_n=(2^{n-1}-1)/(3*2^{n-1})}$ ,会发现 ${n}$ 取任意奇数,都是 ${3}$ 的倍数.而且不是 ${2}$ 的倍数.那么 ${Ans_n=((2^{n-1}-1)/3)/(2^{n-1})}$ .

假如 ${n}$ 是偶数:

${Ans_n=(2^{n-1}+1)/(3*2^{n-1})}$ ,和奇数基本一样, ${Ans_n=((2^{n-1}+1)/3)/(2^{n-1})}$ .
然后 ${a_i}$ 比较多,记得套上欧拉降幂.

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll qp(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)    res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }return res;
}
int main()
{
    int k;cin>>k;ll n=1;
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        ll x;cin>>x;n=n*(x%(mod-1))%(mod-1);
    }if(n==0)    n=1e9+6;
    if(n&1)    printf("%lld/%lld\n",(qp(2ll,n-1)-1)*qp(3,mod-2)%mod,qp(2,n-1));
    else    printf("%lld/%lld\n",(qp(2ll,n-1)+1)*qp(3,mod-2)%mod,qp(2,n-1));
    return 0;
}

PLEASE

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