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期末应试这几天我查过的-高数下

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这几天我查过的-高数下

489 浏览 0 回复 2020-07-05

Bernard5

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圆的参数方程

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

$x=a+rcos\theta$

$y=b+rsin\theta$

椭圆的参数方程

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$x=acos\theta\ , \ y=bsin\theta$

抛物线的参数方程

$y^2=2px$

$x=2pt^2\ ,\ y=2pt$

含有 $\sqrt{a^2-x^2}$ 的积分

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{dx}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\frac{x}{a^2\sqrt{a^2-x^2}}+C$

$\int \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=-\sqrt{a^2-x^2}+C$

$\int \frac{dx}{(\sqrt{a^2-x^2})^3}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}+C$

乱七八糟的积分

$\int \frac{sinx}{x}=x-x^3+C$

求点到面的投影

平面的一般方程：

$Ax+By+Cz+D=0 \dots(1)$

不在平面上的点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，它到平面上的投影 $(x_p,y_p,z_p)$

$y_p=\frac{B}{A}(x_p-x_0)+y_0 \dots (2)$

$z_p=\frac{C}{A}(x_p-x_0)+z_0 \dots (3)$

将(2)(3)代入(1)得 $x_p=\frac{(B^2+C^2)x_0-A(By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

联立解得

$y_p=\frac{(A^2+C^2)y_0-B(Ax_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

$z_p=\frac{(A^2+B^2)z_0-C(Ax_0+By_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

求点到线的距离

$d=\frac{|\overrightarrow{MP}\times s|}{|s|}$

线面夹角

$sin \ \varphi=\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

一阶线性微分方程

$y'+P(x)y=Q(x)$ 的通解是 $y=e^{-\int {P(x)dx}}[ \int Q(x)e^{\int {P(x)dx}} dx+C]$

分部积分

$\int xe^xdx=\int xde^x=xe^x-\int e^xdx=xe^x-e^x+C$

曲线积分

$\int _Lf(x,y)ds=\int _\alpha ^\beta f[x(\theta),y(\theta)]\sqrt{[x'(\theta)]^2+[y'(\theta)]^2}d\theta$

$\int _L f(x,y)ds=\int _a ^b f[x,y(x)]\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$

$\int_L1dx=L$

$\int _L P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int _\alpha ^\beta ({P[x(\theta),y(\theta)]x'(\theta)} + {Q[x(\theta),y(\theta)]y'(\theta)})d\theta$

$\int _L{P(x,y)dx+Q(x,y)dy}={\int _a ^b(P[x,y(x)]+Q[x,y(x)]y'(x))dx }$

$若\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}则积分与路径无关$

$若正向无交叉闭曲线且有一阶偏导\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D{(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy}$

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