【LeetCode】1227. 飞机座位分配概率

一、题目描述

有 n 位乘客即将登机，飞机正好有 n 个座位。第一位乘客的票丢了，他随便选了一个座位坐下。

剩下的乘客将会：

如果他们自己的座位还空着，就坐到自己的座位上，
当他们自己的座位被占用时，随机选择其他座位

第 n 位乘客坐在自己的座位上的概率是多少？

示例 1：

输入：n = 1
输出：1.00000
解释：第一个人只会坐在自己的位置上。
示例 2：

输入: n = 2
输出: 0.50000
解释：在第一个人选好座位坐下后，第二个人坐在自己的座位上的概率是 0.5。

提示：

1 <= n <= 10^5

二、解题思路 & 代码

直观的想法：

除了第一个人，当第 i 个人选完座位后，第 i 个座上面一定有人，这样到最后只有第 n 个和第 1 个座位上存在不确定性。

严谨推导：

首先题目并没有说第一个乘客座位号就是 1 啊？也没说最后一个乘客座位号就是 n 啊？所以大家的假设是怎么来的？这一点没有说清。其实很简单，不管每个乘客编号是多少，我们不用管，我们只要看他入场的次序就行了，所以我们就按照入场次序给他们重新编个号，这样的话就是按照 1 到 n 的编号入场了（也就是这里的编号代表的是入场的次序，而不是实际的座位号）。

然后就是 1 号进场了，可以分为下面几种情况：

他有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择坐在 1 号座位上。这样 2 到 n 号位置都不会被占，那么 n 号坐在自己座位的概率就是 1.0 。
他有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择坐在 n 号座位上。这样 2 到 n-1 号位置都不会被占，而 n 号只能坐在 1 号座位上，那么概率就是 0.0 。
他有 $\frac{1}{n}$ 的概率选择坐在 i 号座位上，其中 $2 \leq i \leq n - 1$ 。这样 2 到 i−1 号位置都不会被占，他们都坐在自己的的位置上。而 i 号乘客就犯难了，他的座位被 1 号占了，他不知道坐哪了。这时候，如果他选择坐 1 号座位，那么 i+1 到 n 号乘客还是坐在自己位置，相安无事。而如果他选择坐在i+1 到 n 号中的某个位置，那么必然又会产生新的冲突，这样就不好求解了啊！

对于第三种情况，我们可以换个角度看问题。现在面临的问题是，i 号选择坐在哪？这时候还没入场的有 i 到 n 号乘客，而座位还剩 1 和 i+1 到 n 号。那既然 i 号乘客坐在 1 号座位的话，后面的人都能坐回原位，那我们就把 1 号座位当作是 i 号乘客原本的座位就行了嘛，反正我最后又不要求 i 号乘客坐回原位的概率，你坐哪都没事，只要别影响到其他人就行了。那么问题的规模就被缩小到了 n−i+1 ，我们递归求解就行了。

令 $f (n)$ 表示 n 个人的情况下，最后一个人坐回原位的概率，按照上面的分析，我们可以列出递推式：

$f(n)=\frac{1}{n}\left(1+\sum_{i=2}^{n-1} f(n-i+1)\right)$

这个递推式想必大家高中就会求了，令 $n = n - 1$ 再写出一项：
$f(n-1)=\frac{1}{n-1}\left(1+\sum_{i=2}^{n-2} f(n-i)\right)$

然后两式相减得到：

$n f (n) - (n - 1) f (n - 1) = f (n - 1)$

即：
$f(n)=f(n-1)=\cdots=f(2)$

那么我们就可以得到最终的答案了，对任意的 $n \geq 2$ 都有
$f (n) = f (2) = 0.5$

还有一个特例就是 $f (1) = 1.0$ ，这样这题就证好了。

关键：

这题最关键的一步就是 1 号坐在了 i 号座位后，i 号何去何从？如果你能换个角度，把 1 号座位给 i 号（因为给他之后，对后面的乘客座位没有任何影响，那么就能把 1 号座位看成就是 i 号乘客的），那么问题就能递归下去了。题解区许多人这一步为什么能递归下去？根本没有讲清楚。

class Solution:
    def nthPersonGetsNthSeat(self, n: int) -> float:
        return 1 if n==1 else 0.5

【LeetCode】1227. 飞机座位分配概率

一、题目描述

二、解题思路 & 代码

参考：