0x01 基本算法-位运算
D 最短Hamilton路径
题目描述
给定一张 n(n \leq 20)(n≤20) 个点的带权无向图,点从0 \sim n-10∼n−1标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
输入描述:
第一行一个整数n。
接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(一个不超过10^710 7的正整数,记为a[i,j])。对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且a[x,y]+a[y,z] \geq a[x,z]a[x,y]+a[y,z]≥a[x,z]。
输出描述:
一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。
示例1
输入
4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0
输出
4
说明
从0到3的Hamilton路径有两条,0-1-2-3和0-2-1-3。前者的长度为2+2+1=5,后者的长度为1+2+1=4
(1)本题使用状压dp,dp[i][j],i表示每个点的状态(二进制)的集合,1为走过,0为没有走过。例如,走过0,1,3这三个点,则二进制表示为1011,第二个点没有走过,表示为0。j表示为这个集合中的终点。
(2)在dp的使用中,我们选择一个k点,比较,从i到k加上k到j的距离和i直接到k的距离,取其较小的值。
(3)(i>>j)&1表示在i这个状态集中,可以走过j点。(i>>k)&1同理。
(4)i-(1<<j),由于我们需要i到k的距离,所以,在i这个集合中只要把j为终点变为k为终点即可。例如,在0,1,3的状态集中,要把终点从3变到1,i(1011),1<<j(1000),相减可得0011。
同过遍历所有的情况以及dp的使用,就可以得到结果。
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int mp[21][21] ; int dp[1<<21][21]; int main() { int n ; cin >> n ; memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp)); dp[0][0] = 0 ; for(int i = 0 ; i < n ; i ++) { for(int j = 0 ; j < n ; j ++) { cin >> mp[i][j]; } } for(int i = 0 ; i < (1<<n) ; i ++) { for(int j = 0 ; j < n ; j ++) { if((i>>j)&1) { for(int k = 0 ; k < n ; k ++) { if((i>>k)&1) { dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[i-(1<<j)][k]+mp[k][j]); } } } } } cout << dp[(1<<n)-1][n-1] << endl ; }