关于F唯一性的另一种证明方式

证明：若 $gcd(p, n) = 1$ ， $k_1, k_2 \in \{0, 1, \dots, n-1\}$ ，序列 $a_k = (k * p \mod n)+1$ 包含 n 个从 1 到 n 的不同整数，

等效于：若p与n互质，则在 $k \in \{0, 1, \dots, n-1\}$ 时， $k$ 不同时 $k \cdot p \mod n$ 的值也不同。

我们可以使用反证法+裴署定理证明

因为 $\gcd(p, n) = 1$ ，所以存在整数 $x$ 和 $y$ 使得 $x \cdot p + y \cdot n = 1$ （裴署定理）。

显然，两边模 $n$ ，知 $x \cdot p \equiv 1 \pmod{n}$ ，即 $x$ 是 $p$ 的乘法逆元。

这里使用反证法：

如果 $k_1 \neq k_2$ 且 $k_1 \cdot p \equiv k_2 \cdot p \pmod{n}$ ，我们可以两边乘以 $x$ （ $p$ 的逆元）：

x \cdot k_1 \cdot p \equiv x \cdot k_2 \cdot p \pmod{n} \\ \Rightarrow k_1 \cdot (x \cdot p) \equiv k_2 \cdot (x \cdot p) \pmod{n} \\ \Rightarrow k_1 \cdot 1 \equiv k_2 \cdot 1 \pmod{n} \\ \Rightarrow k_1 \equiv k_2 \pmod{n}.

因为 $k_1, k_2 \in \{0, 1, \dots, n-1\}$ ，所以 $k_1 = k_2$ ，矛盾。

故得证。