题解 | #完全数计算#由一次错误 的回答推导欧拉公式

本来是遍历到根号n,后来想改进到再去除2的倍数

验证 6因子 1,6 2,3

那么12因子 (1,12 2,6) (2,6 4,3) 这样因子和是3倍

但是12因子 1,12 2,6 3,4 那么2,6重复了

结论错误

为什么? 猜测可能是因为6是2的倍数所以会再翻倍时导致因子有重复

a不是2的倍数

a因子 1,a x1,y1 x2,y2

2a因子 (1,2a 2,a) (x1,2y1 and 2x1,y1)...

2a因子和是a的3倍,但是没什么用因为得不到4a因子和是2a三倍

顺着欧拉思路是不是需要a为质数

所以对素数p $2^n\ast p\mathrm{的}\mathrm{因}\mathrm{子}\mathrm{和}=(p+1)(2^{n+1}-1)2^n*p\; 的因子和=\; (p+1)(2^\{n+1\}-1)$

当 $2^n\ast p2^n*p$是完全数=> $2^n\ast p=(p+1)(2^{n+1}-1)-2^n\ast p2^n*p=\; (p+1)(2^\{n+1\}-1)-2^n*p$

即$(2^{n+1})\ast p=(p+1)(2^{n+1}-1)(2^\{n+1\})*p=\; (p+1)(2^\{n+1\}-1)$

a/b a整除b (a,b)=1 a,b最大公约数为1,ab互质

$p+1\mathrm{/}(2^{n+1})\ast p,\mathrm{且}(p,p+1)=1p+1/(2^\{n+1\})*p,且\; (p,p+1)=1$ =>

$p+1\mathrm{/}{2}^{n+1}\ast \ast \ast \ast \ast p+1/2^\{n+1\}\; *****$

=> $(2^{n+1})\ast (2^k-1)=(2^k)(2^{n+1}-1)(2^\{n+1\})*(2^k-1)=(2^k)(2^\{n+1\}-1)$

=>n=k-1结合$2^n\ast p\mathrm{是}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{数}2^n*p\; 是完全数$

$\mathrm{有}\mathrm{存}\mathrm{在}k\mathrm{当}{2}^k-1=p\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}\mathrm{时}{2}^n\ast p\mathrm{为}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{数}有存在k\; 当2^k-1=p\; 为质数时\; 2^n*p为完全数$

$\mathrm{也}\mathrm{即}(2^k-1)\ast (2^{k-1})\mathrm{为}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{数}也即\; (2^k-1)*(2^\{k-1\})为完全数$

对比欧拉结论

$\mathrm{如}\mathrm{果}p\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{数}\mathrm{，}\mathrm{且}{2}^p-1\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{数},\mathrm{（}{2}^p-1)\ast 2^{(p-1)}\mathrm{便}\mathrm{是}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{完}\mathrm{全}\mathrm{数}\mathrm{。}如果p是质数，且2^p-1也是质数,（2^p-1)*2^\{(p-1)\}便是一个完全数。$

$\mathrm{下}\mathrm{证}\mathrm{若}\mathrm{要}{2}^p-1\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{数},p\mathrm{需}\mathrm{为}\mathrm{质}\mathrm{数}下证若要2^p-1也是质数,p需为质数$