题目难度: 中等

原题链接

今天继续更新剑指 offer 系列, 这道题又是一道经典问题, 可能快速幂大家都有所了解, 这里额外提供一种不一样的思路

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题目描述

实现函数 double Power(double base, int exponent)，求 base 的 exponent 次方。不得使用库函数，同时不需要考虑大数问题。

  • -100.0 < x < 100.0
  • n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2^31, 2^31 − 1] 。

题目样例

示例 1

输入

2.00000, 10

输出

1024.00000

示例 2

输入

2.10000, 3

输出

9.26100

示例 3

输入

2.00000, -2

输出

0.25000

解释

2^-2 = 0.5^2 = 0.25

题目思考

  1. 根据数据规模, 暴力循环显然是不可行的, 那有没有降低复杂度的方法, 大而化小来解决?
  2. 需要考虑到哪些边界条件?
  3. 如何避免重复的计算过程?

解决方案

方案 1

思路

  • 分治法, 将当前幂值二分来求解每一部分的结果, 然后乘起来就是当前的结果, 这样就需要使用 logN 的时间
  • 注意将每次的计算结果保存起来, 避免重复计算
  • 注意边界条件：n == 0, n < 0, x == 0

复杂度

  • 时间复杂度 O(logN)
    • 二分递归
  • 空间复杂度 O(logN)
    • memo 数组还有递归栈需要存 logN 个元素

代码

Python 3
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if x == 0:
            return 0
        # 初始化幂为0和1的结果, 作为递归出口
        memo = {0 : 1.0, 1 : x}

        def helper(n):
            if n < 0:
                return 1.0 / helper(-n)

            if n not in memo:
                half_n = n // 2
                # 二分分成两部分求乘积
                memo[n] = helper(half_n) * helper (n - half_n)

            return memo[n]

        return helper(n)

方案 2

思路

  • 经典快速幂
  • 注意下面的^表示求幂符号, 不是异或
  • 根据 x^(2n) == (x^2)^n 的性质, 快速将 n 收敛到 0
  • 举例来说: 比如 2^7 = (2^2)^3*2 = 4^3*2 = (4^2)^1*4*2 =16*4*2
  • 所以就是针对当前的幂值 n
    • 如果它是奇数, 那么最终结果要乘上当前 x 值
    • 如果它是偶数, 那么最终结果不需要乘
    • 然后 x*=x, n/=2(也可以选择右移一位)即可
    • 最终到 n=0 就结束循环
  • 这样就能将空间复杂度降至 O(1)
  • 进一步思考: 快速幂每次都要除以 2 吗? 针对不同的问题是不是也可以除以不同的数来优化? ==> 372-超级次方

复杂度

  • 时间复杂度 O(logN)
    • n 每次除以 2, logN 次就收敛到 0
  • 空间复杂度 O(1)
    • 只使用了几个变量

代码

Python 3
class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if x == 0:
            return 0
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        res = 1
        while n > 0:
            if n & 1:
                res *= x
            x *= x
            n >>= 1
        return res

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