线性代数之——微分方程和 exp(At)

本节的核心是将常系数微分方程转化为线性代数问题。

$\frac{du}{dt}=\lambda u的解为u\left(t\right)=C{e}^{\lambda t}$dtdu​=λu的解为u(t)=Ceλt

代入 $t=0$t=0，可得 $u\left(0\right)=C$u(0)=C，因此有 $u\left(t\right)=u\left(0\right)e^{\lambda t}$u(t)=u(0)eλt。这是只有一个变量的情况，在线性代数里，我们扩展到 $n$n 个方程的情况。

$\frac{du}{dt}=Au初始条件为向量u(0{)}_{t=0}$dtdu​=Au初始条件为向量u(0)t=0​

注意，这里 $A$A 是常矩阵，不随时间而改变。而且这些方程是线性的，如果 $u\left(t\right)$u(t) 和 $v\left(t\right)$v(t) 都是方程组的解，那么它们的线性组合 $Cu\left(t\right)+Dv\left(t\right)$Cu(t)+Dv(t) 也是解，我们需要 $n$n 个这样的常数来匹配方程组的初始条件。

1. $\frac{du}{dt}=Au$dtdu​=Au 的解

其中一个解是 $e^{\lambda t}x$eλtx， $\lambda$λ 是矩阵 $A$A 的特征值，而 $x$x 是特征向量。将这个解代入原方程，利用 $Ax=\lambda x$Ax=λx 可得

$\frac{du}{dt}=\lambda e^{\lambda t}x=A{e}^{\lambda t}x=Au$dtdu​=λeλtx=Aeλtx=Au

这个解的所有部分都有 $e^{\lambda t}$eλt，当 $\lambda \&gt;0$λ>0 时，解会增长；当 $\lambda \&lt;0$λ<0 时，解会衰减。而当 $\lambda$λ 为虚数时，则它的实部决定解是增长还是衰减。

• 例 1

求解 $\frac{du}{dt}=Au=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]u，u_0=\left[\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right]$dtdu​=Au=[01​10​]u，u0​=[42​]。

矩阵 $A$A 的特征值为 1 和 -1，特征向量为 (1, 1) 和 (1, -1)，因此两个纯指数解为：

$u_1\left(t\right)=e^{{\lambda }_{1}t}{x}_1=e^t\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$u1​(t)=eλ1​tx1​=et[11​]

$u_2\left(t\right)=e^{{\lambda }_{2}t}{x}_2=e^{-t}\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right]$u2​(t)=eλ2​tx2​=e−t[1−1​]

这些 $u$u 依然是矩阵的特征向量，它们满足 $A{u}_1=u_1$Au1​=u1​ 和 $A{u}_2=-u_2$Au2​=−u2​，只不过是系数随着 $t$t 改变罢了。方程组的全解为这些特解的线性组合。

利用初始条件我们可以确定出系数 $C$C 和 $D$D。

因此，我们可以通过以下三个步骤来求解 $\frac{du}{dt}=Au$dtdu​=Au。

• 将 $u_0$u0​ 写成特征向量的线性组合， $u_0=c_1{x}_1+\cdots +c_n{x}_n$u0​=c1​x1​+⋯+cn​xn​；
• 将每个特征向量 $x_i$xi​ 乘以 $e^{{\lambda }_{i}t}$eλi​t；
• 全解就是 $e^{\lambda t}x$eλtx 的线性组合， $u\left(t\right)=c_1{e}^{{\lambda }_{1}t}{x}_1+\cdots +c_n{e}^{{\lambda }_{n}t}{x}_n$u(t)=c1​eλ1​tx1​+⋯+cn​eλn​txn​。

注意，如果两个特征值相同而只有一个对应的特征向量，那么我们就需要另外一个解 $t{e}^{\lambda t}x$teλtx。

• 例 2

2. 二阶方程组

针对二阶方程 $m{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+ky=0$my′′+by′+ky=0，我们将之转化为矩阵形式，假设 $m=1$m=1。

因此，我们需要先求解出矩阵的特征值和特征向量。

3. 2×2 矩阵的稳定性

针对方程组的解，我们想知道随着 $t\to \infty$t→∞，解是否趋向于 $u=0$u=0，也就是问题是否是稳定的。这取决于矩阵的特征值。

全解是由 $e^{\lambda t}x$eλtx 构建出来的。如果特征值 $\lambda$λ 是实数，只有当 $\lambda \&lt;0$λ<0 时，解才会趋向 0。如果特征值 $\lambda$λ 是复数，那么有 $\lambda =r+is$λ=r+is，那么其实部必须小于零。

对 2×2 矩阵 $\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$[ac​bd​] 来说，如果其两个特征值满足上面的两个条件，则一定有：

${\lambda }_1+{\lambda }_2\&lt;0\to 矩阵的迹T=a+d\&lt;0$λ1​+λ2​<0→矩阵的迹T=a+d<0

${\lambda }_1{\lambda }_2\&gt;0\to 矩阵的行列式D=ad-bc\&gt;0$λ1​λ2​>0→矩阵的行列式D=ad−bc>0

4. 矩阵的指数次方

最后，我们想将方程组的解写成一个新的形式 $u\left(t\right)=e^{At}{u}_0$u(t)=eAtu0​。

$e^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+\cdots$ex=1+x+21​x2+61​x3+⋯

我们将 $x$x 换成矩阵，可得：

$e^{At}=I+At+\frac{1}{2}(At{)}^2+\frac{1}{6}(At{)}^3+\cdots$eAt=I+At+21​(At)2+61​(At)3+⋯

它的导数为 $A{e}^{At}$AeAt：

$A+A^{2}t+\frac{1}{2}{A}^3{t}^2+\frac{1}{6}{A}^4{t}^3+\cdots =A{e}^{At}$A+A2t+21​A3t2+61​A4t3+⋯=AeAt

它的特征值是 $e^{\lambda t}$eλt：

(I+At+21​(At)2+61​(At)3+⋯)x=(1+λt+21​(λt)2+61​(λt)3+⋯)x

假设 $A$A 有 $n$n 个线性不相关的特征向量，将 $A=S\Lambda S^{-1}$A=SΛS−1 代入 $e^{At}$eAt 可得：

$e^{At}=I+At+\frac{1}{2}(At{)}^2+\frac{1}{6}(At{)}^3+\cdots$eAt=I+At+21​(At)2+61​(At)3+⋯

$=I+S\Lambda S^{-1}t+\frac{1}{2}\left(S\Lambda S^{-1}t\right)\left(S\Lambda S^{-1}t\right)+\cdots$=I+SΛS−1t+21​(SΛS−1t)(SΛS−1t)+⋯

将 $S$S 和 $S^{-1}$S−1 提取出来有

=S(I+Λt+21​(Λt)2+⋯)S−1=SeΛtS−1

这和之前解的形式是一模一样的！

• 例 3
  

$e^{At}$eAt 满足下面三个规则：

• $e^{At}$eAt 总有逆矩阵 $e^{-At}$e−At；

• $e^{At}$eAt 的特征值总是 $e^{\lambda t}$eλt；

• 如果 $A$A 是反对称矩阵，即 $A^T=-A$AT=−A，那么 $e^{-At}$e−At 是一个正交矩阵，转置等于逆。

• 例 4

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