题目主要信息

1、从m个物品中选出若干个，其总价低于N

2、物品分为主件与附件，如果要买为附件的物品，必须先买该附件所属的主件

3、使得每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大

方法一:动态规划

具体方法

本题很明显是一道01背包问题，对于这种问题，我们一般采用动态规划的方法来进行解决。我们定义动规数组f[i][j]来表示前i件物品，容量为j时的最大价值，则

f[i][j]={max⁡(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]]+v[i])j≥w[i]f[i−1][j]elsef[i][j]=\begin{cases}\max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i]) & j \geq w[i]\\f[i-1][j] & else\end{cases}

在本题中进行了一项变动，即物品分为主件和附件，考虑到一个主件最多可以购买两个附件，那我们可以细化分析，将是否购买该物品，细化为是否购买该物品，以及是否购买该物品的附件，即5种情况，不购买该物品，购买该物品，购买该物品及附件1，购买该物品及附件2，购买该物品及附件1及附件2，f[i][j]取这五种情况的最大值，这五种情况分别对应于

f[i−1][j]f[i-1][j]，

f[i−1][j−w[i]]+v[i]f[i-1][j-w[i]]+v[i]，

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]−w[a1]]+v[i]+v[a1])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]-w[a_1]]+v[i]+v[a_1])，

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]−w[a2]]+v[i]+v[a2])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]-w[a_2]]+v[i]+v[a_2])，

f[i][j]=max(f[i−1][j],f[i−1][j−w[i]−w[a1]−w[a2]]+v[i]+v[a1]+v[a2])f[i][j]=max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]-w[a_1]-w[a_2]]+v[i]+v[a_1]+v[a_2])，

其中a1a_1和a2a_2是该物品的附件。

下面用一个示例来说明，各个颜色表示最优方案，其中白块表示初始化区域，绿块表示不取物品最大，红块表示只取物品主件，紫块表示取物品主件和附件1，黄块表示取物品主件和附件2，蓝块表示取物品主件和两个附件 alt

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();

        Goods[] goods = new Goods[m];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            goods[i] = new Goods();
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            int v = sc.nextInt();
            int p = sc.nextInt();
            int q = sc.nextInt();
            goods[i].v = v;
            goods[i].p = p * v;  // 直接用p*v，方便后面计算
            if(q==0){
                goods[i].main = true;
            }else if(goods[q-1].a1 == -1){
                goods[q-1].a1 = i;
            }else{
                goods[q-1].a2 = i;
            }
        }

        int[][] dp = new int[m+1][N+1];
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = 0; j <= N; j++){
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(!goods[i-1].main){
                    continue;
                }
                if(j>=goods[i-1].v){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1].v] + goods[i-1].p);
                }
                if(goods[i-1].a1 != -1 && j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a1].v){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a1].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a1].p);
                }
                if(goods[i-1].a2 != -1 && j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a2].v){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a2].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a2].p);
                }
                if(goods[i-1].a1 != -1 && goods[i-1].a2 != -1 &&  j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a1].v + goods[goods[i-1].a2].v){
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i-1][j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a1].v - goods[goods[i-1].a2].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a1].p + goods[goods[i-1].a2].p);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[m][N]);
    }
}

class Goods {
    int v;
    int p;
    boolean main = false;

    int a1 = -1;  //定义附件1的编号
    int a2 = -1;  //定义附件2的编号
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(m∗N)O(m*N)，双层循环
  • 空间复杂度：O(m∗N)O(m*N)，需要一个二维额外数组

方法二：动态规划（空间压缩）

具体方法

基本与思路一一样，但是在本题中，由于我们是否取第i个商品时的数组只与是否取第i-1个商品时的数组相关，所以可以进行空间压缩，将时间复杂度压缩到O(N)O(N)，但需注意逆循环，防止前面修改被后面应用。

Java代码

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int N = sc.nextInt();
        int m = sc.nextInt();

        Goods[] goods = new Goods[m];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            goods[i] = new Goods();
        }
        for(int i = 0; i < m; i++){
            int v = sc.nextInt();
            int p = sc.nextInt();
            int q = sc.nextInt();
            goods[i].v = v;
            goods[i].p = p * v;  // 直接用p*v，方便后面计算
            if(q==0){
                goods[i].main = true;
            }else if(goods[q-1].a1 == -1){
                goods[q-1].a1 = i;
            }else{
                goods[q-1].a2 = i;
            }
        }

        int[] dp = new int[N+1];
        for(int i = 1; i <= m; i++){
            for(int j = N; j >= 0; j--){
                if(!goods[i-1].main){
                    continue;
                }
                if(j>=goods[i-1].v){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-goods[i-1].v] + goods[i-1].p);
                }
                if(goods[i-1].a1 != -1 && j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a1].v){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a1].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a1].p);
                }
                if(goods[i-1].a2 != -1 && j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a2].v){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a2].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a2].p);
                }
                if(goods[i-1].a1 != -1 && goods[i-1].a2 != -1 &&  j >= goods[i-1].v + goods[goods[i-1].a1].v + goods[goods[i-1].a2].v){
                    dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j-goods[i-1].v - goods[goods[i-1].a1].v - goods[goods[i-1].a2].v] + goods[i-1].p + goods[goods[i-1].a1].p + goods[goods[i-1].a2].p);
                }
            }
        }
        System.out.println(dp[N]);
    }
}

class Goods {
    int v;
    int p;
    boolean main = false;

    int a1 = -1;  //定义附件1的编号
    int a2 = -1;  //定义附件2的编号
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(m∗N)O(m*N)，双层循环
  • 空间复杂度：O(N)O(N)，只需要一维数组保存状态