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期末应试空间几何 - 知识点

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空间几何 - 知识点

801 浏览 0 回复 2020-07-02

Bernard5

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过三点的平面方程

图片说明

这样做很傻

p25例2

求过三点 $M_1(2,-1,4)、M_2(-1,3,-2)、M_3(0,2,3)$ 的平面的方程。

$\overrightarrow{M_1M_2}=(-3,4,6)\\ \overrightarrow{M_2M_3}=(-2,3,-1)\\ n=\left| \begin{matrix} i&j & k \\ -3 & 4&-6 \\ -2&3&-1\\ \end{matrix} \right|=14i+9j-k\\ \therefore 14(x-2)+9(y-1)-(z-4)=0\\即14x+9y-z-15=0$

面与面/向量的关系

图片说明

点和法向量求平面方程

图片说明

求点到面的距离

图片说明

求点到面的投影

平面的一般方程：

$Ax+By+Cz+D=0 \dots(1)$

不在平面上的点 $(x_0,y_0,z_0)$ ，它到平面上的投影 $(x_p,y_p,z_p)$

$y_p=\frac{B}{A}(x_p-x_0)+y_0 \dots (2)$

$z_p=\frac{C}{A}(x_p-x_0)+z_0 \dots (3)$

将(2)(3)代入(1)得 $x_p=\frac{(B^2+C^2)x_0-A(By_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

联立解得

$y_p=\frac{(A^2+C^2)y_0-B(Ax_0+Cz_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

$z_p=\frac{(A^2+B^2)z_0-C(Ax_0+By_0+D)}{A^2+B^2+C^2}$

图片说明

求两个面的交线

图片说明

两面法向量叉积得直线向量，代入特值求点可得对称式方程（p31例1）

线与线/面的关系

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点方向求线

图片说明

图片说明

图片说明

图片说明

求点到线的距离

图片说明

$d=\frac{|\overrightarrow{MP}\times s|}{|s|}$

图片说明

线面夹角

$sin \ \varphi=\frac{Am+Bn+Cp}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}\sqrt{m^2+n^2+p^2}}$

曲线

xyz分别表示的曲线切线和法平面

图片说明

xyz写在一起的曲线切线和法平面

图片说明

求曲面在某点的切平面和法线

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