【牛客小白月赛21】NC201604 Audio 题目链接

题目大意:

给出三点图片说明 ,求到三点距离相等的点图片说明 的坐标。

解析

考点:计算几何基础。

初中蒟蒻表示不会什么法向量、高斯消元。。qwq

方法一:

根据两点间距离公式:图片说明

由D到A,B距离相等得(任选两点即可)图片说明

两边同时去根号,消去X^2,Y^2得

图片说明

图片说明

由D到A,C距离相等得

图片说明

代入Y,得图片说明

为了代码美观,防止出错,我们用A1,B1,C1等表示上面的系数和常数项

A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;

图片说明

即可解得X

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y;
    double A1,B1,C1,A2,B2,C2;
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);

    A1=2*(x2-x1),B1=2*(y2-y1),C1=x2*x2+y2*y2-x1*x1-y1*y1;
    A2=2*(x3-x1),B2=2*(y3-y1),C2=x3*x3+y3*y3-x1*x1-y1*y1;

    X=(C2-B2*C1/B1)/(A2-B2*A1/B1);
    Y=(C1-A1*X)/B1;

    printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}

方法二:

由平方反比定律,发现响度相同时只与距离有关,所以我们只需要求一点,使得该点到三角形三个顶点距离相同,即求三角形的外心(三边中垂线交点)。

线段中垂线解析式公式

推导:

给定一线段y=kx+b(一端坐标为(x1,y1),另一端坐标为(x2,y2)),求其垂直平分线的函数解析式
设其中垂线为f=k1x+c
∵f⊥y
∴k1*k=-1,即k1=-1/k(注:若两直线互相垂直,则k1*k2=-1)
∴f=-1/k*x+c,即f=-x/k+c;

把点((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)代入f=-x/k+c中
得(y1+y2)/2=-((x1+x2)/2)/k+c
化简得c=(y1+y2)/2+(x1+x2)/2k

∴f=-x/k+c代入c即得
f=-x/k+(x1+x2)/2k+(y1+y2)/2

代入k=(y1-y2)/(x1-x2)即得中垂线解析式
(设经过(x1,y1),(x2,y2)两点的解析式为y=kx+b,则由y1=kx1+b,y2=kx2+b两式相减可得k)

联立任意两边的垂直平分线,求垂直平分线的交点即可。

#include<cstdio>
using namespace std;
int main(){
    double x1,x2,x3,y1,y2,y3,X,Y,k;
    double k1,b1,k2,b2;//两中垂线解析式中的k,b 
    scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&x3,&y3);

    k=(y1-y2)/(x1-x2);
    k1=-1/k,b1=(x1+x2)/2/k+(y1+y2)/2;

    k=(y1-y3)/(x1-x3);
    k2=-1/k,b2=(x1+x3)/2/k+(y1+y3)/2;//求两中垂线解析式

    X=(b2-b1)/(k1-k2);
    Y=k1*X+b1;//联立两中垂线解析式求交点 
    printf("%.3lf %.3lf",X,Y);
}