树的直径_牛客博客

树的直径

【定义】
我们将一棵树T=(V,E)的直径定义为max(u,v),也就是说，树中所有最短路径距离的最大值即为树的直径。
【做法】
对于树的直径呢,我们老师给我们介绍了两种做法,一种是用两次bfs(或者dfs),另一种是用树形DP

1、两次bfs（或者dfs）
方法：先从任意一点P出发，找离它最远的点Q，再从点Q出发，找离它最远的点W，W到Q的距离就是是的直径

证:
①若P已经在直径上，根据树的直径的定义可知Q也在直径上且为直径的一个端点
②若P不在直径上，我们用反证法，假设此时WQ不是直径，AB是直径
——>若AB与PQ有交点C，由于P到Q最远，那么PC+CQ>PC+CA，所以CQ>CA，易得CQ+CB>CA+CB，即CQ+CB>AB，与AB是直径矛盾，不成立。
——>若AB与PQ没有交点，M为AB上任意一点，N为PQ上任意一点。首先还是NP+NQ>NQ+MN+MB，同时减掉NQ，得NP>MN+MB，易知NP+MN>MB，所以NP+MN+MA>MB+MA，即NP+MN+MA>AB，与AB是直径矛盾，所以这种情况也不成立。
附上代码：
```
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,m,t,p,ans;
int d[N],first[N],v[N],w[N],next[N];
void add(int x,int y,int z)
{
  t++;
  next[t]=first[x];
  first[x]=t;
  v[t]=y;
  w[t]=z;
}
void dfs(int x,int father)
{
  int i,j;
  if(ans<d[x])
  {
      ans=d[x];
      p=x;
  }
  for(i=first[x];i;i=next[i])
  {
      j=v[i];
      if(j==father)
        continue;
      d[j]=d[x]+w[i];
      dfs(j,x);
  }
}
void find(int x)
{
  ans=0;
  d[x]=0;
  dfs(x,0);
}
int main()
{
  int x,y,z,i;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=m;++i)
  {
      scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
      add(x,y,z);
      add(y,x,z);
  }
  find(1);
  find(p);
  printf("%d",ans);
  return 0;
}
```
2、树形DP
对于每个节点我们要记录两个值：
f1 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的最大值
f2 [ i ] 表示以 i 为根的子树中，i 到叶子结点距离的次大值
对于一个节点，它到叶子结点距离的最大值和次大致所经过的路径肯定是不一样的
若j是i的儿子，那么（下面的 w [ i ][ j ] 表示 i 到 j 的路径长度）：
若 f1 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ i ]，f1 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；
否则，若 f2 [ i ] < f1 [ j ] + w [ i ][ j ]，f2 [ i ] = f1 [ j ] + w [ i ][ j ]；
理解：这样做就是，先看能否更新最大值，若能，它的次大值就是原先的最大值，再更新它的最大值；若不能，就看能不能更新次大值，若能，就更新，不能就不管它
这样的话，最后的答案 answer = max { f1 [ i ] + f2 [ i ] }
代码（这是从叶节点到根节点的DP）：
```
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=100005;
int n,m,t,ans;
int f1[N],f2[N];
int first[N],v[N],w[N],next[N];
void add(int x,int y,int z)
{
  t++;
  next[t]=first[x];
  first[x]=t;
  v[t]=y;
  w[t]=z;
}
void dp(int x,int father)
{
  int i,j;
  for(i=first[x];i;i=next[i])
  {
      j=v[i];
      if(j==father)
        continue;
      dp(j,x);
      if(f1[x]<f1[j]+w[i])
      {
          f2[x]=f1[x];
          f1[x]=f1[j]+w[i];
      }
      else if(f2[x]<f1[j]+w[i])
        f2[x]=f1[j]+w[i];
      ans=max(ans,f1[x]+f2[x]);
  }
}
int main()
{
  int x,y,z,i;
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=m;++i)
  {
      scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
      add(x,y,z);
      add(y,x,z);
  }
  dp(1,0);
  printf("%d",ans);
  return 0;
}
```
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