如何证明一个数的数根(digital root)就是它对9的余数？

数根就是不断地求这个数的各位数之和，直到求到个位数为止。所以数根一定和该数模9同余，但是数根又是大于零小于10的，所以数根模9的余数就是它本身，也就是说该数模9之后余数就是数根。

证明：

假设有一个n位的10进制数，我们写成 $x = \sum_{i=0}^{n-1}{a_i}{10^i}$ ，其中 $a_i$ 表示从低到高的每一位
因为 $10^n \equiv 1^n \equiv 1 \mod 9$
那么 $x \equiv \sum_{i=0}^{n-1}a_i \mod 9$
也就是一个数和它的各数位之和的模9相同。
不如我们把这个操作记为f即 $f(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_i$
也就是 $f(x) \equiv x \mod 9$
所以
$f(f(x)) \equiv f(x) \equiv x \mod 9$
也就是说每做一次这样的操作，它对于9的模始终是不变的
所以最终求出的数根和原数对9的模相同。

例子：(12345) % 9 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) % 9 = 12 % 9 = (1 +2) % 9 = 3 % 9 = 3。

总结：对任意数%9，那么言下之意是在被膜数成为负数之前我能抽掉任意个9而不改变膜的结果。任意正整数可以拆成a*10^b的形式，10^b膜9一定得1，就是说a*10^b膜9==a膜9。