小兔的叔叔从外面旅游回来给她带来了一个礼物,小兔高兴地跑回自己的房间,拆开一看是一个棋盘,小兔有所失望。不过没过几天发现了棋盘的好玩之处。从起点(0,0)走到终点(n,n)的最短路径数是C(2n,n),现在小兔又想如果不穿越对角线(但可接触对角线上的格点),这样的路径数有多少?小兔想了很长时间都没想出来,现在想请你帮助小兔解决这个问题,对于你来说应该不难吧!
Input
每次输入一个数n(1<=n<=35),当n等于-1时结束输入。
Output
对于每个输入数据输出路径数,具体格式看Sample。
Sample Input
1
3
12
-1
Sample Output
1 1 2
2 3 10
3 12 416024
分析:这一题n不是很大,所以可以用第一种的递推式来写,这样反而不会溢出
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long c[40]; int main() { c[0]=1;c[1]=1; for(int i=2;i<=35;i++){ for(int j=0;j<i;j++) { c[i] += c[j] * c[i-j-1]; } } int n,num=1; while(cin >>n){ if(n == -1) break; printf("%d %d %lld\n",num++,n,c[n]*2); } return 0; }
此时n等于100:当n很大时:64位已经不能表示了,可以把一个一个数放进数组里,再根据运算法则处理数据,最后输出想要的答案
//推导公式: h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); #include<iostream> using namespace std; int a[101][101]={0}; int main() { int n,i,j,len,r,temp,t; int b[101]; //标记长度 a[1][0] = 1; len = 1; b[1] = 1; for(i=2;i<=100;i++) { for(j=0;j<len;j++) //乘法 a[i][j] = a[i-1][j]*(4*i-2); for(r=j=0;j<len;j++) //处理相乘结果(从后往前为 个,十,百,千,万……) { temp = a[i][j] + r; a[i][j] = temp % 10; r = temp / 10; } while(r) //进位处理 { a[i][len++] = r % 10; r /= 10; } for(j=len-1,r=0;j>=0;j--) //除法 { temp = r*10 + a[i][j]; a[i][j] = temp / (i+1); r = temp % (i+1); } while(!a[i][len-1]) //高位零处理 len --; b[i] = len; } while(cin>>n) { for(j=b[n]-1;j>=0;j--) printf("%d",a[n][j]); printf("\n"); } return 0; }
当n大,但是有取模要求时:运用拓展欧几里得,求逆元等知识来除法取模。
//推导公式:h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); //因为有取模,所以可以用long long 不会超限 #include <cstdio> #include <cstring> using namespace std; const int N = 1000005; const long long MOD = 1000000007; long long extend_gcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(a == 0 && b == 0) return -1; if(b == 0){ x = 1; y = 0; return a; } long long d = extend_gcd(b, a % b, y, x); y -= a / b * x; return d; } long long mod_reverse(long long a, long long n) //求逆元 { long long x,y; long long d = extend_gcd(a, n, x, y); if(d == 1) return (x % n + n) % n; else return -1; } long long C[N]; int main() { C[1] =1; C[2] = 1; for (int i = 2; i < N; i++) { long long tmp = mod_reverse((long long) i, MOD); C[i] = C[i - 1] * (4 * i - 6) % MOD * tmp % MOD; //除法取模 } int ans = 1,t,n; scanf("%d", &t); while (t--) { scanf("%d", &n); printf("Case #%d:\n", ans++); printf("%lld\n", C[n+1]); } return 0; }