1.最短路

将不等式转化为x[i]-x[j]<=c的形式。

对结点j和i建立一条j--->i的有向边，权值为c

所求x[n-1]-x[0]的最大值即从0到n-1的最短路。

（a-b<c写成a-b<=c-1）

const int inf=0x3f3f3f3f（初始化为极大值） spfa判有无负环。

2.最长路

将不等式转化为x[i]-x[j]>=c的形式。

对结点j和i建立一条j--->i的有向边，权值为c

所求x[n-1]-x[0]的最小值即从0到n-1的最长路。

const int inf=0xc0c0c0c0（初始化为极小值） spfa判有无正环。

 

以下转来的三个例题：

http://www.cppblog.com/menjitianya/archive/2015/11/19/212292.html

 

差分约束的经典应用

      1、线性约束

        线性约束一般是在一维空间中给出一些变量（一般定义位置），然后告诉你某两个变量的约束关系，求两个变量a和b的差值的最大值或最小值。

     【例题1】N个人编号为1-N，并且按照编号顺序排成一条直线，任何两个人的位置不重合，然后给定一些约束条件。

       X(X <= 100000)组约束Ax Bx Cx(1 <= Ax < Bx <= N)，表示Ax和Bx的距离不能大于Cx。

       Y(X <= 100000)组约束Ay By Cy(1 <= Ay < By <= N)，表示Ay和By的距离不能小于Cy。

       如果这样的排列存在，输出1-N这两个人的最长可能距离，如果不存在，输出-1，如果无限长输出-2。

      像这类问题，N个人的位置在一条直线上呈线性排列，某两个人的位置满足某些约束条件，最后要求第一个人和最后一个人的最长可能距离，这种是最直白的差分约束问题，因为可以用距离作为变量列出不等式组，然后再转化成图求最短路。

      令第x个人的位置为d[x]（不妨设d[x]为x的递增函数，即随着x的增大，d[x]的位置朝着x正方向延伸）。

      那么我们可以列出一些约束条件如下：

      1、对于所有的Ax Bx Cx，有 d[Bx] - d[Ax] <= Cx；

      2、对于所有的Ay By Cy，有 d[By] - d[Ay] >= Cy；

      3、然后根据我们的设定，有 d[x] >= d[x-1] + 1 (1 < x <= N)  （这个条件是表示任何两个人的位置不重合）

     而我们需要求的是d[N] - d[1]的最大值，即表示成d[N] - d[1] <= T，要求的就是这个T。

     于是我们将所有的不等式都转化成d[x] - d[y] <= z的形式，如下：

      1、d[Bx]  -  d[Ax]    <=    Cx

      2、d[Ay]  -  d[By]    <=  -Cy

      3、d[x-1] -    d[x]    <=    -1

     对于d[x] - d[y] <= z，令z = w(y, x)，那么有 d[x] <= d[y] + w(y, x)，所以当d[x] > d[y] + w(y, x)，我们需要更新d[x]的值，这对应了最短路的松弛操作，于是问题转化成了求1到N的最短路。

       对于所有满足d[x] - d[y] <= z的不等式，从y向x建立一条权值为z的有向边。

      然后从起点1出发，利用SPFA求到各个点的最短路，如果1到N不可达，说明最短路(即上文中的T)无限长，输出-2。如果某个点进入队列大于等于N次，则必定存在一条负环，即没有最短路，输出-1。否则T就等于1到N的最短路。


      2、区间约束

     【例题2】给定n（n <= 50000）个整点闭区间和这个区间中至少有多少整点需要被选中，每个区间的范围为[ai, bi]，并且至少有ci个点需要被选中，其中0 <= ai <= bi <= 50000，问[0, 50000]至少需要有多少点被选中。

      例如3 6 2 表示[3, 6]这个区间至少需要选择2个点，可以是3,4也可以是4,6（总情况有 C(4, 2)种 ）。

 

      这类问题就没有线性约束那么明显，需要将问题进行一下转化，考虑到最后需要求的是一个完整区间内至少有多少点被选中，试着用d[i]表示[0, i]这个区间至少有多少点能被选中，根据定义，可以抽象出 d[-1] = 0，对于每个区间描述，可以表示成d[ bi ]  - d[ ai - 1 ] >= ci，而我们的目标要求的是 d[ 50000 ] - d[ -1 ] >= T 这个不等式中的T，将所有区间描述转化成图后求-1到50000的最长路。

      这里忽略了一些要素，因为d[i]描述了一个求和函数，所以对于d[i]和d[i-1]其实是有自身限制的，考虑到每个点有选和不选两种状态，所以d[i]和d[i-1]需要满足以下不等式：  0 <= d[i] - d[i-1] <= 1   （即第i个数选还是不选）

      这样一来，还需要加入 50000*2 = 100000 条边，由于边数和点数都是万级别的，所以不能采用单纯的Bellman-Ford ，需要利用SPFA进行优化，由于-1不能映射到小标，所以可以将所有点都向x轴正方向偏移1个单位（即所有数+1）。

 

      3、未知条件约束

      未知条件约束是指在不等式的右边不一定是个常数，可能是个未知数，可以通过枚举这个未知数，然后对不等式转化成差分约束进行求解。

     【例题3】

在一家超市里，每个时刻都需要有营业员看管，R(i)  (0 <= i < 24)表示从i时刻开始到i+1时刻结束需要的营业员的数目，现在有N(N <= 1000)个申请人申请这项工作，并且每个申请者都有一个起始工作时间 ti，如果第i个申请者被录用，那么他会连续工作8小时。

现在要求选择一些申请者进行录用，使得任何一个时刻i，营业员数目都能大于等于R(i)。

       i = 0 1 2 3 4 5 6 ... 20 21 22 23 23，分别对应时刻 [i, i+1)，特殊的，23表示的是[23, 0)，并且有些申请者的工作时间可能会“跨天”。

       a[i] 表示在第i时刻开始工作的人数，是个未知量

       b[i] 表示在第i时刻能够开始工作人数的上限， 是个已知量

       R[i] 表示在第i时刻必须值班的人数，也是已知量

       那么第i时刻到第i+1时刻还在工作的人满足下面两个不等式（利用每人工作时间8小时这个条件）：

       当 i >= 7,        a[i-7] + a[i-6] + ... + a[i] >= R[i]                                     (1)

       当 0 <= i < 7,  (a[0] + ... + a[i]) + (a[i+17] + ... + a[23]) >= R[i]              (2)

 

       对于从第i时刻开始工作的人，满足以下不等式：

       0 <= i < 24,    0 <= a[i] <= b[i]                                                            (3)

       令 s[i] = a[0] + ... + a[i]，特殊地，s[-1] = 0

       上面三个式子用s[i]来表示，如下：

       s[i] - s[i-8] >= R[i]                               (i >= 7)                                      (1)

       s[i] + s[23] - s[i+16] >= R[i]               (0 <= i < 7)                                  (2)

       0 <= s[i] - s[i-1] <= b[i]                     (0 <= i < 24)                                (3)

       

      仔细观察不等式(2)，有三个未知数，这里的s[23]就是未知条件，所以还无法转化成差分约束求解，但是和i相关的变量只有两个，对于s[23]的值我们可以进行枚举，令s[23] = T, 则有以下几个不等式：

      

      s[i] - s[i-8] >= R[i]

      s[i] - s[i+16] >= R[i] - T

      s[i] - s[i-1] >= 0

      s[i-1] - s[i] >= -b[i]

      

      对于所有的不等式 s[y] - s[x] >= c，建立一条权值为c的边 x->y，于是问题转化成了求从原点-1到终点23的最长路。

      但是这个问题比较特殊，我们还少了一个条件，即：s[23] = T，它并不是一个不等式，我们需要将它也转化成不等式，由于设定s[-1] = 0，所以 s[23] - s[-1] = T，它可以转化成两个不等式：

      s[23] - s[-1] >= T

      s[-1] - s[23] >= -T

      将这两条边补到原图中，求出的最长路s[23]等于T，表示T就是满足条件的一个解，由于T的值时从小到大枚举的（T的范围为0到N），所以第一个满足条件的解就是答案。

      最后，观察申请者的数量，当i个申请者能够满足条件的时候，i+1个申请者必定可以满足条件，所以申请者的数量是满足单调性的，可以对T进行二分枚举，将枚举复杂度从O(N)降为O(logN)。