线性代数之——行列式及其性质

方阵的行列式是一个数字，这个数字包含了矩阵的大量信息。首先，它立即告诉了我们这个矩阵是否可逆。矩阵的行列式为零的话，矩阵就没有逆矩阵。当 $A$A 可逆的时候，其逆矩阵 $A^{-1}$A−1 的行列式为 $1/det\left(A\right)$1/det(A)。

行列式可以用来求逆矩阵、计算主元和求解方程组，但是我们很少这样做，因为消元会更快。

对于上述矩阵，如果行列式 $ad-bc$ad−bc 为零的话，我们不能除以零，也就是没有逆矩阵。其主元为 $a$a 和 $d-\left(c/a\right)b$d−(c/a)b，主元的乘积就是行列式的值。

行列式有三个基本的性质，由这三个性质我们可以计算任意方针的行列式， $A$A 的行列式记作 $det\left(A\right)$det(A) 或者 $\mid A\mid$∣A∣。

• 性质 1： $detI=1$det I=1，单位矩阵的行列式为 1 ，与之对应的是单位立方体的体积是 1。

• 性质 2： 当两行进行交换的时候行列式改变符号。

由这个性质，我们可以很容易得到所有置换矩阵的行列式，置换矩阵都是由单位矩阵演化而来，当有奇数次行交换时， $detP=-1$det P=−1；当有偶数次行交换时， $detP=1$det P=1。

• 性质 3： 行列式是单独每一行的线性函数（其它行不变）。

若某一行乘以 $t$t，行列式就也乘以 $t$t。如果某一行加上另一行，行列式就也相加。

这不意味着 $2I=2detI$2I=2det I， $2I$2I 是对其中的每一行都乘以 2，因此要乘以 $2^n$2n。

这就像面积或者体积一样，长方形的长和宽都变为原来的 2 倍的话，面积就会变为 4 倍。

• 性质 4： 当矩阵中有两行一样的话， $det\left(A\right)=0$det(A)=0。

利用性质 2，我们对这两行进行行交换，矩阵仍然保持不变，但其行列式需要变号，那么行列式只能为零。

• 性质 5： 用矩阵的一行减去另一行的倍数，行列式不变。

$\mid \begin{array}{cc}a& b\\ c-\lambda a& d-\lambda b\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\mid -\lambda \mid \begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\mid$∣∣∣∣​ac−λa​bd−λb​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​−λ∣∣∣∣​aa​bb​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​ac​bd​∣∣∣∣​

在消元的过程中，行列式不会改变，如果有行交换的话，符号不同，因此有 $detA=\pm detU$det A=±det U。

• 性质 6： 当矩阵的某一行全为零的时候，行列式为零。

利用性质 5，将全零行加上另外一行。

$\mid \begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\mid =\mid \begin{array}{cc}a& b\\ a& b\end{array}\mid =0$∣∣∣∣​a0​b0​∣∣∣∣​=∣∣∣∣​aa​bb​∣∣∣∣​=0

• 性质 7： 如果矩阵是三角形的，那么行列式等于对角线上元素的乘积。

利用性质 5，我们可以将对角线上面或者下面的元素通过消元法全部变成 0，这不会改变行列式的值。然后，矩阵就只有对角线上有非零值，我们再利用性质 3 将每行的系数提取出来，矩阵就变成了单位矩阵。

• 性质 8： 如果矩阵是可逆的那么 $det\left(A\right)̸=0$det(A)̸​=0，反之 $det\left(A\right)=0$det(A)=0。

消元过程会让 $A$A 变为 $U$U，如果 $A$A 是不可逆的，那么 $U$U 中一定有全零行，其行列式为零。如果 $A$A 是可逆的，那么 $U$U 中的对角线为主元，其行列式为对角线的乘积，也即主元的乘积。

如果 $PA=LU$PA=LU，那么有 $\mid P\mid \mid A\mid =\mid L\mid \mid U\mid$∣P∣ ∣A∣=∣L∣ ∣U∣， $L$L 为对角线上为 1 的下三角矩阵，因此有 $detL=1$det L=1，而 $detP=\pm 1$det P=±1，所以 $\mid A\mid =\pm \mid U\mid$∣A∣=±∣U∣。

• 性质 9： $\mid AB\mid =\mid A\mid \mid B\mid$∣AB∣=∣A∣∣B∣。

$det\left(A{A}^{-1}\right)=detI=1\to det{A}^{-1}=\frac{1}{detA}$det(AA−1)=det I=1→det A−1=det A1​

一个简单的证明过程如下所示：

• 性质 10： 转置矩阵的行列式不变， $det{A}^T=detA$det AT=det A。

$\mid P\mid \mid A\mid =\mid L\mid \mid U\mid \leftrightarrow \mid P^T\mid \mid A^T\mid =\mid L^T\mid \mid U^T\mid$∣P∣ ∣A∣=∣L∣ ∣U∣↔∣PT∣ ∣AT∣=∣LT∣ ∣UT∣

对比以上两项，置换矩阵的逆等于转置，所以有 $\mid P\mid \mid P^T\mid =1$∣P∣∣PT∣=1，因此它们同时为 1 或者 -1。对三角矩阵的转置不影响其对角线元素，因此行列式不变，所以有 $\mid L\mid =\mid L^T\mid ，\mid U\mid =\mid U^T\mid$∣L∣=∣LT∣，∣U∣=∣UT∣，所以有 $\mid A\mid =\mid A^T\mid$∣A∣=∣AT∣。

因此，任意应用于矩阵的行的性质都可以同时应用到矩阵的列上去。

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