只要用时间 t 的公式对 k 求导数，一切都会好起来的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll=long long;
const ll N=1e5+5;
// 定义结构体D，用于存储二维平面上点的横、纵坐标
struct D{
    double x;  // 点的横坐标
    double y;  // 点的纵坐标
};

// 定义数组存储所有点的坐标
D d[N];

int main(){
    // 优化输入输出流，提升cin/cout的速度，适配大数据量输入
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    ll n;  // 存储点的总数
    cin>>n;
    double ans=0;  // 存储最终结果的累加变量，初始化为0
    // 输入第一个点的坐标
    cin>>d[1].x>>d[1].y;
    // 遍历从第2个点到第n个点，逐个处理相邻两点的计算逻辑
    for(ll i=2;i<=n;i++){
        // 输入当前第i个点的坐标
        cin>>d[i].x>>d[i].y;
        // 计算当前点与前一个点（i-1）之间的欧几里得距离e
        double e=sqrt(pow(d[i].x-d[i-1].x,2)+pow(d[i].y-d[i-1].y,2));
        // 计算tmp值，作为后续二分查找的目标阈值
        double tmp=-1/(e*log(0.5));
        // 初始化二分查找的左右边界：l为下界0，r为上界1e9+7（覆盖所有可能的解范围）
        double l=0,r=1e9+7;
        // 二分查找迭代100次，通过不断缩小区间逼近方程的解
        for(ll j=1;j<=100;j++){
            // 取当前区间的中点m
            double m=(l+r)/2;
            // 判断中点是否满足条件，调整二分区间
            // 核心逻辑：寻找满足0.5^m <= tmp的最小r，通过二分缩小区间
            if(pow(0.5,m)<=tmp){
                r=m;  // 解在左半区间，收缩右边界
            }else{
                l=m;  // 解在右半区间，收缩左边界
            }
        }
        // 累加当前相邻两点对最终结果的贡献值到ans中
        ans+=2*r+2*e*pow(0.5,r);
    }
    // 输出最终结果，保留9位小数
    printf("%.9lf",ans);
	return 0;
}