[SCOI2009]游戏

题目地址：

https://ac.nowcoder.com/acm/problem/20271

基本思路：

根据题意，我们将每种置换方法转换成图论模型,
例如题中的置换关系 1->2 2->3 3->1 4->5 5->4 6->6,
就能转换为 1->2->3->1,4->5->4,6->6,这样三个长度分别为,,的环,
那么我们就容易发现每次的循环节的长度就是所有环长度的,
所以实际题意就转换成了,将分解成若干个数的和,求它们的可能方案数。
我们怎样构造出多的不同方案数,首先我们根据唯一分解定理,
多个数的可以转换为出现的每个质因子的最高次幂乘积,
也就是
为了不产生损耗，构造的时候直接用质数的幂来凑，这样不需要除以导致损失，
因此每个能被凑出，当且仅当,
它们的和可以小于，因为剩下的可以用补齐,
最后我们发现问题转换成了一个非常裸的完全背包,
所以我们筛一下小于的素数,然后跑一个完全背包就能统计到答案。

参考代码：

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define IO std::ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0)
#define int long long
#define ull unsigned long long
#define SZ(x) ((int)(x).size())
#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define rep(i, l, r) for (int i = l; i <= r; i++)
#define per(i, l, r) for (int i = l; i >= r; i--)
#define mset(s, _) memset(s, _, sizeof(s))
#define pb push_back
#define pii pair <int, int>
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define INF 0x3f3f3f3f

inline int read() {
  int x = 0, neg = 1; char op = getchar();
  while (!isdigit(op)) { if (op == '-') neg = -1; op = getchar(); }
  while (isdigit(op)) { x = 10 * x + op - '0'; op = getchar(); }
  return neg * x;
}
inline void print(int x) {
  if (x < 0) { putchar('-'); x = -x; }
  if (x >= 10) print(x / 10);
  putchar(x % 10 + '0');
}

const int maxn = 1010;
int prime[maxn];
bool is_prime[maxn];
int sieve(int n) { // 素数筛;
  int p = 0;
  for (int i = 0; i <= n; i++) is_prime[i] = true;
  is_prime[0] = is_prime[1] = false;
  for (int i = 2; i <= n; i++) {
    if (is_prime[i]) {
      prime[p++] = i;
      for (int j = 2 * i; j <= n; j += i) is_prime[j] = false;
    }
  }
  return p;
}
int n,num,dp[maxn];
signed main() {
  IO;
  cin >> n;
  num = sieve(n);
  dp[0] = 1;
  for(int i = 0 ; i < num ; i++) { // 完全背包过程;
    for (int j = n; j >= prime[i]; j--) {
      int now = prime[i];
      while (now <= j) {
        dp[j] += dp[j - now];
        now *= prime[i];
      }
    }
  }
  int ans = 0;
  rep(i,0,n) ans += dp[i]; // 统计结果;
  cout << ans << '\n'; 
  return 0;
}