题解 | 抢红包 #

$[概率论+乘法逆元]$

必须知道期望的公式，知道公式了就直接快速幂解决了

设一个离散型随机变量 $x$ 的所有可能的取值为 $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ ，这些取值对应的概率为 $p_{1},p_{2},p_{3},...,p_{n}$ ，则 $E(x)=x_{1}p_{1}+x_{2}p_{2}+x_{3}p_{3}+...+x_{n}p_{n}$ ，这个叫做离散型随机变量 $x$ 的均值或者数学期望(简称期望)

但题目连续性随机变量，那么 $E(x)=\int_{0}^{w}\frac{x}{w}\ dx=\frac{1}{w}\cdot\int_{0}^{w}x\ dx=\frac{1}{w}\cdot\frac{w^{2}}{2}=\frac{w}{2}$

所以第一个人：剩余金额为 $w$ ，获得红包的期望金额为 $\frac{w}{2}$

所以第二个人：剩余金额为 $\frac{w}{2}$ ，获得红包的期望金额为 $\frac{w}{4}$

所以第三个人：剩余金额为 $\frac{w}{4}$ ，获得红包的期望金额为 $\frac{w}{8}$

...

所以第 $k$ 个人：剩余金额为 $\frac{2}{2^{k-1}}$ ，获得红包的期望金额为 $\frac{w}{2^{k}}$

即求 $\frac{w}{2^{k}}\ mod\ 10^{9}+7$

总代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define endl '\n'
#define int long long
#define IOS ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(NULL);cout.tie(NULL);
#define HelloWorld IOS;

const int mod = 1e9 + 7;

int w, n, k;

int ksm(int a, int b, int p){
    a %= mod;
    int sum = 1;
    while(b){
        if(b & 1) sum = (sum * a) % mod;
        b >>= 1;
        a = (a * a) % mod;
    }
    return sum;
}

signed main(){
    HelloWorld;
    
    cin >> w >> n >> k;
    int niyuan =  ksm(ksm(2, k, mod), mod - 2, mod);
    cout << (w * niyuan) % mod << endl;    
    return 0;
}