第五章定积分

第一节定积分的概念与性质

定义：设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，在 $[a,b]$ 中任意插入若干个分点 $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_{n-1} < x_n=b$ 把区间 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间 $[x_0,x_1], [x_1, x_2], \dots , [x_{n-1}, x_n]$ ，每个小区间的长度依次为 $\Delta{x_1} = x_1 - x_0, \Delta{x_2} = x_2 - x_1, \dots, \Delta{x_n} = x_n - x_{n-1}$ ，在每个小区间 $[x_{n-1}, x_n]$ 上任取一点 $\xi_i, x_{n-1} \leq \xi_i \leq x_n$ ，作函数值 $f(\xi_i)$ 与小区间长度 $\Delta{x_i}$ 的乘积 $f(\xi_i)\Delta{x_i}, i = 1, 2, \dots, n$ ，并作出和 $S=\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i}$ ，记 $\lambda = \max{\Delta{x_1},\Delta{x_2},\dots,\Delta{x_n}}$ ，如果当 $\lambda \to 0$ 时，这和的极限总是存在，且与闭区间 $[a,b]$ 的分法及点 $\xi_i$ 的取法无关，那么称这个极限 $I$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分（简称积分），记作 $\int_a^bf(x)dx$ ，即 $\int_a^bf(x)dx = I = \lim_{\lambda \to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta{x_i}$ 。其中 $f(x)$ 叫做被积函数， $f(x)dx$ 叫做被积表达式， $x$ 叫做积分变量， $a$ 叫做积分下限， $b$ 叫做积分上限， $[a,b]$ 叫做积分区间。
闭区间上连续，必可积
闭区间上有界，且只存在有限个间断点，则可积（注意闭区间这个条件）
$(n+1)^3 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1$
$1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
求积分近似值的几种方法：矩形法、梯形法、抛物线法（辛普森法）
常用性质
- 当 $a > b$ 时， $\int_a^bf(x)dx = -\int_b^af(x)dx$
- 如果在区间上，那么
  - 如果在区间 $[a,b]$ 上 $f(x) \geq g(x)$ ，那么 $f_a^bf(x)dx \geq f_a^bg(x)dx (a < b)$
  - $|\int_a^bf(x)dx| \leq \int_a^b|f(x)|dx (a < b)$
- 设 $m, M$ 分别是函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的最小值和最大值，则 $m(b-a) \leq \int_a^bf(x)dx \leq M(b-a)$
- 积分中值定理：如果函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，那么在该区间上至少存在一个点 $\xi$ ，使： $\int_a^bf(x)dx = f(\xi)(b-a)$ ， $a \leq \xi \leq b$ 成立

第二节微积分基本公式

函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的定积分等于它所对应的原函数 $F(x)$ 在该区间上的增量
积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^xf(t)dt$
连续函数的原函数一定存在
牛顿莱布尼茨公式：又称微积分基本定理， $\int_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)$

第三节定积分的换元法和分部积分法

参考不定积分

第四节反常积分

无穷限的反常积分：积分上限或下限至少有一个为 $\infty$ 的积分称为反常积分
瑕点：如果函数在点 $a$ 的任何一个邻域内都无界，那么称点 $a$ 为函数 $f(x)$ 的瑕点，也称无界间断点。无界函数的反常积分又称瑕积分

第五节反常积分的审敛法 $\Gamma$ 函数

判断无穷限反常积分是否收敛的几种方法
- 比较审敛法
- 比较审敛法 1
- 极限审敛法 1
- 绝对收敛的反常积分必定收敛
无界函数的反常积分的审敛法
- 比较审敛法 2
- 极限审敛法 2
函数：
- 递推公式： $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s), (s > 0)$
- 当 $s \to 0^+$ 时， $\Gamma(s) \to +\infty$
- 余元公式： $\Gamma(s)\Gamma(1-s) = \frac{\pi}{\sin{\pi{s}}}, (0 < s <1)$

《高等数学》上册 第五章 定积分

第五章 定积分

第一节 定积分的概念与性质

第二节 微积分基本公式

第三节 定积分的换元法和分部积分法

第四节 反常积分

第五节 反常积分的审敛法 函数

《高等数学》上册第五章定积分

第五章定积分

第一节定积分的概念与性质

第二节微积分基本公式

第三节定积分的换元法和分部积分法

第四节反常积分

第五节反常积分的审敛法 $\Gamma$ 函数