剑指Offer #08 跳台阶（递推）

题目来源：牛客网-剑指Offer专题
题目地址：跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（先后次序不同算不同的结果）。

题目解析

这是一道经典的递推题目，你可以想如果青蛙当前在第n级台阶上，那它上一步是在哪里呢？

显然，由于它可以跳1级台阶或者2级台阶，所以它上一步必定在第n-1,或者第n-2级台阶，也就是说它跳上n级台阶的跳法数是跳上n-1和跳上n-2级台阶的跳法数之和。

设跳上 $i$ 级台阶有 $f(n)$ 种跳法，则它跳上n级的台阶有 $f(n)=f(n-1) + f(n-2)$ 种跳法。

然后，我们又思考初始（ $n-2\leq0$ ）的情况，跳上1级台阶只有1种跳法，跳上2级台阶有2种跳法，最终我们得到如下的递推式：

$f(n)= \begin{cases} 1&, \text{n=1} \\ 2 &,\text{n=2} \\ f(n-1) + f(n-2) &,\text{n>2} \end{cases}$

这个递推式和 $Fibonacci$ 比较相似，这里就简单写常用的两种实现方式，详情可以参考上篇博客解法：斐波那契数列（四种解法）。

方法一：
面试别写型递推版实现，时间复杂度 $O(2^n)$ 。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int n) {
        if (n == 1) return 1; 
        if (n == 2) return 2;
        return JumpFloor(n - 1) + JumpFloor(n - 2);
    }
}

方法二：
面试推荐型，自底向上型循环求解，时间复杂度为 $O(n)$ 。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        // f[1] = 1, f[0] = 1 (f[0]是为了简便作答自己添加的)
        int a = 1, b = 1;
        for (int i = 2; i <= target; i++) {
            // 求f[i] = f[i - 1] + f[i - 2]
            a = a + b; // 这里求得的 f[i] 可以用于下次循环求 f[i+1]
            // f[i - 1] = f[i] - f[i - 2]
            b = a - b; // 这里求得的 f[i-1] 可以用于下次循环求 f[i+1]
        }
        return a;
    }
}

有小伙伴表示，方法二不太容易理解，这里做一下简单解释。其实就是自底向上求递推式的过程，这里再给出方法二原始的版本。

public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if (target <= 1) {
            return 1;
        }
        // a 表示第 f[i-2] 项，b 表示第 f[i-1] 项
        int a = 1, b = 1, c = 0;
        for (int i = 2; i <= target; i++) {
            c = a + b; // f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
            // 为下一次循环求 f[i + 1] 做准备
            a = b; // f[i - 2] = f[i - 1]
            b = c; // f[i - 1] = f[i]
        }
        return c;
    }
}

其实，方法二就是将这里的if条件判断和变量c优化掉了而已。

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