电磁波速度

终于知道电磁波速度怎么来的了(╥╯^╰╥)

由麦克斯韦的前两个方程 ：
▽×E=−μ∂H∂t $▽\times E=-\mu \frac{\partial H}{\partial t}$ ①
▽×H=−ε∂E∂t $▽\times H=-\epsilon \frac{\partial E}{\partial t}$ ②
把①再叉乘一哈：
▽×(▽×E)=▽×(−μ∂H∂t) $▽\times (▽\times E)=▽\times (-\mu \frac{\partial H}{\partial t})$
▽(▽⋅E)−▽2E=−μ∂(▽×H)∂t $▽(▽\cdot E)-{▽}^{2}E=-\mu \frac{\partial (▽\times H)}{\partial t}$
▽(▽⋅E)−▽2E=−μ∂(ε∂E∂t)∂t $▽(▽\cdot E)-{▽}^{2}E=-\mu \frac{\partial \left(\epsilon \frac{\partial E}{\partial t}\right)}{\partial t}$
▽(▽⋅E)−▽2E=−με∂2E∂t2 $▽(▽\cdot E)-{▽}^{2}E=-\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$
因为这里的电磁磁场都是涡旋场，所以散度的旋度等于0
即： ▽(▽⋅E)=0 $▽(▽\cdot E)=0$
▽2E+με∂2E∂t2=0 ${▽}^{2}E+\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=0$
而电场随时间变化是 E=E′∗ejwt $E=E^{{\prime }^{}}\ast e^{jwt}$
所以
με∂2E∂t2=με(−w2)E′∗ejwt=−μεw2E $\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}=\mu \epsilon (-w^2)E^{{\prime }^{}}\ast e^{jwt}=-\mu \epsilon w^{2}E$
而电场随空间变化就当作最简单的平面波： E=E0∗eikz $E=E_0\ast e^{ikz}$
所以：
▽2E=−k2E0∗eikz=−k2E ${▽}^{2}E=-k^2{E}_0\ast e^{ikz}=-k^{2}E$

所以： −k2E=−εμw2E $-k^{2}E=-\epsilon \mu w^{2}E$
即： k2=εμw2 $k^2=\epsilon \mu w^2$

而:
k=2πλ $k=\frac{2\pi }{\lambda }$
w=2πT $w=\frac{2\pi }{T}$

化简一哈：
(λT)2=1με $(\frac{\lambda }{T}{)}^2=\frac{1}{\mu \epsilon }$
而： λT $\frac{\lambda }{T}$ 不就是速度 v $v$ 么ヽ(￣▽￣)ﾉ

所以 v=1με√ $v=\frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon }}$
ヾ(✿ﾟ▽ﾟ)ノ