D:苏卿念发红包

首先，题目中已经说得很明确了（按照常理也是）。
当有 $m$m个包，你第 $k$k个抢。 $k\>m$k>m的话。显然，平时会显示： $\text{来晚了一步，红包已经被领完了}$来晚了一步，红包已经被领完了
就是，已经被第 $m$m个及之前的人领完了。所以说，期望是 $0$0。

然后，看 $k\&lt;=m$k<=m的时候。

我们构造一个函数 $f(a,b,c)\text{表示剩余a元，还有b个包，你在第c个抢得到的期望}$f(a,b,c)表示剩余a元，还有b个包，你在第c个抢得到的期望

于是，我们就有一个期望的转移：

$f(n,m,k)=\frac{m}{2n}\ast {\int }_0^{\frac{2n}{m}}f(n-x,m-1,k-1)dx$f(n,m,k)=2nm​∗∫0m2n​​f(n−x,m−1,k−1)  dx

特别的，当 $k=1$k=1时

$f(a,b,1)=\frac{b}{2a}\ast {\int }_0^{\frac{2a}{b}}xdx$f(a,b,1)=2ab​∗∫0b2a​​x dx

$m=1$m=1时，我们这一类里，只有 $m=k=1$m=k=1， $f(a,1,1)=a$f(a,1,1)=a

然后我们展开来看：

当 $k!=m$k!=m时 $:$:

$f(n,m,k)=\frac{m}{2n}\ast {\int }_0^{\frac{2n}{m}}\frac{m-1}{2(n-x_1)}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1)}{m-1}}\frac{m-2}{2(n-x_1-x_2)}\dots \dots \frac{m-k+2}{2(n-x_1...-x_{k-2})}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1...-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{m-k+1}{2(n-x_1...-x_{k-1})}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1...-x_{k-1})}{m-k+1}}{x}_k{d}_{x_k}{d}_{x_{k-1}}...d_{x_1}$f(n,m,k)=2nm​∗∫0m2n​​2(n−x1​)m−1​∫0m−12(n−x1​)​​2(n−x1​−x2​)m−2​ …… 2(n−x1​...−xk−2​)m−k+2​∫0m−k+22(n−x1​...−xk−2​)​​2(n−x1​...−xk−1​)m−k+1​∫0m−k+12(n−x1​...−xk−1​)​​xk​ dxk​​ dxk−1​​... dx1​​

当 $k=m$k=m时，积分到：

$\frac{2}{2(n-x_1...-x_{m-2})}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1...-x_{m-2})}{2}}{x}_{m-1}{d}_{x_{m-1}}{d}_{x_{m-2}}...d_{x_1}$2(n−x1​...−xm−2​)2​∫022(n−x1​...−xm−2​)​​xm−1​ dxm−1​​ dxm−2​​... dx1​​

就可以了。

然后 $\dots \dots$……

这怎么做？！！！ $k$k重积分啊，套自适应性辛普森积分？

数据范围一看， $T$T了啊。

好吧好吧，我们化简一下看看。

先只看后两项：

$\frac{m-k+2}{2(n-x_{1}…-x_{k-2})}\int_{0}^{{\frac{2(n-x_{1}…-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{m-k+1}{2(n-x_{1}…-x_{k-1})}\int_{0}}{\frac{2(n-x_{1}…-x_{k-1})}{m-k+1}}x_{k} \ d_{x_{k}}\ d_{x_{k-1}} $

我们开始化简：

$\frac{m-k+2}{2(n-x_1...-x_{k-2})}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1...-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{m-k+1}{2(n-x_1...-x_{k-1})}\ast \frac{1}{2}\ast [\frac{2(n-x_1...-x_{k-1})}{m-k+1}{]}^2{x}_k{d}_{x_k}{d}_{x_{k-1}}$2(n−x1​...−xk−2​)m−k+2​∫0m−k+22(n−x1​...−xk−2​)​​2(n−x1​...−xk−1​)m−k+1​∗21​∗[m−k+12(n−x1​...−xk−1​)​]2xk​ dxk​​ dxk−1​​

$\frac{m-k+2}{2(n-x_1...-x_{k-2})}{\int }_0^{\frac{2(n-x_1...-x_{k-2})}{m-k+2}}\frac{(n-x_1...-x_{k-1})}{m-k+1}$2(n−x1​...−xk−2​)m−k+2​∫0m−k+22(n−x1​...−xk−2​)​​m−k+1(n−x1​...−xk−1​)​

然后，把常数 $\frac{1}{m-k+1}$m−k+11​提出来，继续拆一个积分号，这里就不写了。

希望自己找一张草稿纸写一下。

神奇的发现。

竟然是那么的相似。

我们很显然的利用数学归纳法。

直接按照相似的公式积第一项，把常数也按照规律写下来。

积分之后，把所有常数消去。

神奇的发现：

$f(n,m,k)=\frac{n}{m}$f(n,m,k)=mn​

$mmp!!!$mmp!!!

(感受到了世界的深深的恶意)

是不是我们算错了？

好，现在请拿起身边的卡西欧计算器。

我们试试样例一：

$n=100,m=10,k=3$n=100,m=10,k=3

我们把 $k=1,2,3$k=1,2,3都试一下。

$\frac{n}{m}=10$ mn​=10

$k=1:$k=1 :

$f(100,10,1)=\frac{1}{20}{\int }_0^{20}x{d}_x=10$f(100,10,1)=201​ ∫020​x dx​=10

$k=2:$k=2 :

$f(100,10,2)=\frac{1}{20}{\int }_0^{20}\frac{9}{2(100-x_1)}{\int }_0^{\frac{2(100-x_1)}{9}}{x}_{2}d{x}_{2}d{x}_1$f(100,10,2)=201​∫020​2(100−x1​)9​∫092(100−x1​)​​x2​  dx2​ dx1​

$=\frac{1}{20}{\int }_0^{20}\frac{(100-x_1)}{9}d{x}_1=\frac{1}{180}{\int }_0^{20}(100-x_1)d{x}_1=10$=201​∫020​9(100−x1​)​ dx1​ =1801​∫020​(100−x1​)  dx1​=10

$k=3:$k=3 : 算出来也是 $10$10

哇 $\dots \dots$……

好吧，这道题就是 $\frac{n}{m}$mn​了， $O_1$O1​搞出来了。

$END$END。