Gym 100543G Virus synthesis

题意

有AGTC四种字符，一开始有一个空串，每次操作，可以在首或尾加任意个字符，或者将已有字符镜面复制（左右两种复制方法），要求最少的操作步数使得得到给出的字符串

题解

首先，最后的串一定是从他的回文子串向两侧添加得到的
所以，只需要考虑构成回文串的最小操作数

设回文树中一节点 $u$u, 其答案为 $dp\left[u\right]$dp[u],长度为 $len\left[u\right]$len[u],其父亲为 $v$v

那么，什么样的串才能得到回文串呢？

• 从它的回文子串得到
• 从它的非回文子串得到，只能通过向两侧补齐得到，最笨的方法

首先说从回文子串得到
若回文子串和本身同对称轴，那么对应的最优解就是PAM结点的父节点 $v$v，那么，在 $v$v 镜面对称之前，先在一侧加上一个字符，再对称，则可以得到 $u$u
否则，若其不是 $u$u 的一个长度小于 $len\left[u\right]/2$len[u]/2 的后缀回文串，只能通过暴力向两侧加，否则，将其补到一半，对称一下即可

可以发现，除了从 $v$v 和 $u$u 的后缀回文串得到，其他的得到方式都是暴力，而且，这两种方式最多会退化成暴力，所以，只考虑回文串之间的转移就行！！！

那么只要在回文树上 $dp$dp 就好了

• 若长度为奇数， $dp\left[u\right]=dp\left[fail\right[u\left]\right]+len\left[u\right]-len\left[fail\right[u\left]\right]$dp[u]=dp[fail[u]]+len[u]−len[fail[u]]
• 若长度为偶数， $dp\left[u\right]=min\left(dp\right[v]+1,dp[half\left[u\right]]+\frac{len\left[u\right]}{2}-len[half\left[u\right]]+1)$dp[u]=min(dp[v]+1,dp[half[u]]+2len[u]​−len[half[u]]+1)

其中， $half\left[u\right]$half[u] 为结点 $u$u 的长度小于其一半的最长后缀回文串

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define N 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-6
#define pi 3.141592653589793
#define mod 777777777
#define P 1000000007
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl clear
#define si size
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define bug(x) cerr<<#x<<" : "<<x<<endl
#define mem(x,y) memset(x,0,sizeof(int)*(y+3))
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;
typedef  pair<int,int> pp;
char s[N];
int ans;
int tot;

struct PAM {
    int next[N][4] ;//next指针，next指针和字典树类似，指向的串为当前串两端加上同一个字符构成
    int fail[N] ;//fail指针，失配后跳转到fail指针指向的节点
    int cnt[N]; //表示节点i表示的回文串的个数（建树时求出的不是完全的，最后count()函数跑一遍以后才是正确的）
    int num[N] ; //表示以节点i表示的最长回文串的最右端点为回文串结尾的回文串个数（包括本身）。
    int len[N] ;//len[i]表示节点i表示的回文串的长度
    int s[N] ;//存放添加的字符
    int half[N];
    int dp[N];
    int last ;//指向上一个字符所在的节点，方便下一次add
    int n ;//字符数组指针
    int p ;//节点指针
    //r为结尾的回文串的长度一定可以分成logn段等差数列
    inline int newnode ( int l ) {//新建节点
        for ( int i = 0 ; i < 4 ; ++ i ) next[p][i] = 0 ;
        cnt[p]= 0 ;
        num[p] = 0 ;
        len[p] = l ;
        return p ++ ;
    }
    inline void init () {//初始化
        p = 0 ;
        newnode (  0 ) ;
        newnode ( -1 ) ;
        last = 0 ;
        n = 0 ;
        s[n] = -1 ;//开头放一个字符集中没有的字符，减少特判
        fail[0] = 1 ;
        half[0]=half[1]=1;
    }
    inline int get_fail ( int x ) {//和KMP一样，失配后找一个尽量最长的
        while ( s[n - len[x] - 1] != s[n] ) x = fail[x] ;
        return x ;
    }
    inline void add ( int c ) {
        // c -= 'a' ;
        s[++ n] = c ;
        int cur = get_fail ( last ) ;//通过上一个回文串找这个回文串的匹配位置
        if ( !next[cur][c] ) {//如果这个回文串没有出现过，说明出现了一个新的本质不同的回文串
            int now = newnode ( len[cur] + 2 ) ;//新建节点
            fail[now] = next[get_fail ( fail[cur] )][c] ; 
            next[cur][c] = now ;
            if (len[now]==1) half[now]=0;else{
                int pos=half[cur];
                while ( s[n - len[pos] - 1] != s[n]||len[pos]+2>len[now]/2 ) pos = fail[pos] ;
                half[now]=next[pos][c];
            }
            if (len[now]&1)
                dp[now]=dp[fail[now]]+len[now]-len[fail[now]];
            else
                if (len[now]<=2) dp[now]=len[now];
            else
                dp[now]=min(dp[cur]+1,dp[half[now]]+len[now]/2-len[half[now]]+1);
        }
        last = next[cur][c] ;
        ans=min(ans,dp[last]+tot-len[last]);
    }
}A;

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int T; sc(T);
    while(T--){
        scanf("%s",s+1);
        int n=strlen(s+1); tot=n;
        A.init();
        ans=1e9;
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            int x;
            if (s[i]=='A') x=0;else
            if (s[i]=='G') x=1;else
            if (s[i]=='C') x=2;else
                            x=3;
            A.add(x);
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}