可参考 官网

内容

讲述了不同的等价关系，例如

  • 定义相等
    • 由于采用 Inductive Type 机制，原先表现形式不同的表达式经过自动化简后程序无法区分
    • 例
      • (fun x -> x) a 和 a
      • (factorial 3) 和 6
  • 证明相等
    • 使用 equal a b 这个类型代表 a == b 的命题
    • 用 Reflexivity x 构造 equal x x 的实例
      • 所有 equal a b 的实例定义相等
  • 布尔相等
    • 仅针对 eqtype，例如 int, bool 等
    • 用 a = b 表示，和非依值类型语言的 a == b 等价

习题一：莱布尼兹等价关系

概要

定义莱布尼兹等价关系为

let lbz_eq (#a:Type) (x y:a) = p:(a -> Type) -> p x -> p y

证明其是等价关系，并且 lbz_eq a b 是 equal a b 的充要条件。

思路

等价关系包括

  • 自反性
  • 传递性
  • 对称性

考虑到 lbz_eq 是函数，对这些性质的证明也应当是匿名函数。

let lbz_eq_refl #a (x:a)
  : lbz_eq x x
  = fun p h -> h
let lbz_eq_trans #a (x y z:a) (pf1:lbz_eq x y) (pf2:lbz_eq y z)
  : lbz_eq x z
  = fun p h -> pf2 p (pf1 p h)

对于对称性，如果只考虑对于一个命题，则 p y 推不出 p x，因此想办法构造其他命题。

考虑构造匿名函数，输入 x 返回 p y，输入 y 返回 p x，就可以构造出 p x。

由于 x 和 y 不能比较，因此不能采用上面的方法。

然而，由于 p 可以构造出任何命题，考虑构造函数。

我们已有 p y 和 p x -> p x 的实例，

那么我们只要构造出 p y -> p x 的实例即可。

let lbz_eq_sym #a (x y:a) (pf:lbz_eq x y)
  : lbz_eq y x
  = fun p h -> pf (fun z -> (p z -> p x)) (fun z -> z) h

后面的证明采用类似的思路即可。

let equals_lbz_eq (#a:Type) (x y:a) (pf:equals x y)
  : lbz_eq x y
  = fun p h -> h
let lbz_eq_equals (#a:Type) (x y:a) (pf:lbz_eq x y)
  : equals x y
  = pf (fun z -> (equals x z)) Reflexivity

在 Web 编辑器，似乎 Reflexivity 关键字不存在，大概是某种 bug.