题目
题目描述: 小A这次来到一个景区去旅游,景区里面有N个景点,景点之间有N-1条路径。
小A从当前的一个景点移动到下一个景点需要消耗一点的体力值。
但是景区里面有两个景点比较特殊,它们之间是可以直接坐观光缆车通过,不需要消耗体力值。
而小A不想走太多的路,所以他希望你能够告诉它,从当前的位置出发到他想要去的那个地方,他最少要消耗的体力值是多少。
第一行一个整数N代表景区的个数。
接下来N-1行每行两个整数u,v代表从位置u到v之间有一条路径可以互相到达。
接下来的一行两个整数U,V表示这两个城市之间可以直接坐缆车到达。
接下来一行一个整数Q,表示有Q次询问。
接下来的Q行每行两个整数x,y代表小A的位置在x,而他想要去的地方是y。
对于每个询问下x,y输出一个结果,代表x到y消耗的最少体力对于每个询问下x,y输出一个结果,代表x到y消耗的最少体力
解析
1)知识点
- 这道题是一道lcd板子题,但是我不会lcd,所以是现学现卖的(怕会写错了QAQ
2)看题目
- 这道题就是问你树上两点最短时间,然后一个特别的地方就是有一条路可以节省时间,求最短时间。
3)算法分析
- 我先来说一下lcd是啥:
- lcd就是用来查找树上两点之间的最近公共父节点的算法。我们这里为什么用呢,因为最短路肯定要有一个相交点,所以那个点就是最近的公共父节点。
- 然后我们就来解释一下lcd算法是什么原理吧:
- 首先我们要算两个点的最近公共父节点,这时假设节点一个高,一个低(前提是按照正常树的样子放好),公共父节点一定不会在他们之间。所以我们就先讲较低的节点上移到相同的层来。
- 然后就是查找父节点了,这个时候只要让两个节点同时不停的往上找(一边一下),那么迟早就找到了。
- 知道lcd是什么原理之后,我们再将怎么去实现这个算法,我们这里用的是在线算法:lcd+倍增。
- 首先是实现两个节点移动到相同的层数:我们理解一下可以发现,任何一个数都可以用不重复的二的倍数相加表示。然后我们就做一个循环,假设i的最大值为20,向下循环,这样算的也快呀hh
- 接下来就是同时查找父节点,就查呗。
- 最后我还有一个没有讲到的问题就是,深度和父节点怎么求:
- 深度用一个deep[]数组,然后父节点用一个f[][]数组就好了,第二个维度是什么?就是ta的第2^i个父节点(就是往上查找)。
4)算法操作
- 然后我们就来看一下算法代码:
- 数组初始化:
void dfs(int u, int fa) { deep[u] = deep[fa] + 1; for (int i = 0; i <= 20 - 1; i++) f[u][i + 1] = f[f[u][i]][i]; for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { int v = edge[i].v; if (v == fa) continue; f[v][0] = u; dfs(v, u); } }
- lca计算:
int lca(int x, int y) { if (deep[x] < deep[y]) swap(x, y); for (int i = 20; i >= 0; i--) if (deep[f[x][i]] >= deep[y]) x = f[x][i]; //将要计算的两个节点先换到同一层 //因为在换节点的时候,x一直在变,所有数字都可以拆成2的倍数之和(而且不重复),所以可以换到同一层 if (x == y) return x; for (int i = 20; i >= 0; i--) if (f[x][i] != f[y][i]) { x = f[x][i]; y = f[y][i]; } //将两个节点同时上移(同步移动), return f[x][0]; }
- 最后注意一下树的距离的计算:
int dist(int u, int v) { return deep[u] + deep[v] - 2 * deep[lca(u, v)]; }
5)打代码
- 打代码啦!
- 首先是用前向星保存树的结构
- 然后将数组初始化了
- 接下来就是计算最短距离了
- 因为有特殊道路,所以我们先算直通的
- 然后和使用这个路的时间去比大小
- 看我代码咯~
AC代码
#include <iostream> #include <algorithm> #include <cstring> using namespace std; #define IOS ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0); //代码预处理区 const int N = 3e5 + 7; int head[N], tot; struct EDGE { int u, v, w, next; } edge[N << 1]; int deep[N], f[N][21];//节点深度,fa[i][j]为i的第2^j个祖先 //全局变量区 void init();//前向星初始化 void add_edge(int u, int v);//前向星加边 void dfs(int u, int fa);//前向星dfs int lca(int x, int f);//搜索最近相同父节点 int dist(int u, int v);//求树两点的距离 //函数预定义区 int main() { IOS; int n; cin >> n; init(); for (int i = 1; i <= n - 1; i++) { int u, v; cin >> u >> v; add_edge(u, v); add_edge(v, u); } int x, y; cin >> x >> y; dfs(1, 0); int T; cin >> T; while (T--) { int u, v; cin >> u >> v; int ans = dist(u, v);//初始化为直接路径 ans = min(ans, dist(u, x) + dist(y, v)); ans = min(ans, dist(u, y) + dist(x, v)); //判断要不要去走近路 cout << ans << endl; } return 0; } void init() { memset(head, 0, sizeof head); tot = 0; } void add_edge(int u, int v) { tot++; edge[tot].v = v; edge[tot].next = head[u]; head[u] = tot; } void dfs(int u, int fa) { deep[u] = deep[fa] + 1; for (int i = 0; i <= 20 - 1; i++) f[u][i + 1] = f[f[u][i]][i]; for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) { int v = edge[i].v; if (v == fa) continue; f[v][0] = u; dfs(v, u); } } int lca(int x, int y) { if (deep[x] < deep[y]) swap(x, y); for (int i = 20; i >= 0; i--) if (deep[f[x][i]] >= deep[y]) x = f[x][i]; //将要计算的两个节点先换到同一层 //因为在换节点的时候,x一直在变,所有数字都可以拆成2的倍数之和(而且不重复),所以可以换到同一层 if (x == y) return x; for (int i = 20; i >= 0; i--) if (f[x][i] != f[y][i]) { x = f[x][i]; y = f[y][i]; } //将两个节点同时上移(同步移动), return f[x][0]; } int dist(int u, int v) { return deep[u] + deep[v] - 2 * deep[lca(u, v)]; } //函数区