线性代数之——行列式公式及代数余子式

计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 $n!$n! 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。

• 主元的乘积为 $2\ast \frac{3}{2}\ast \frac{4}{3}\ast \frac{5}{4}=5$2∗23​∗34​∗45​=5。

• 大公式有 $4!=24$4!=24 项，但只有 5 个非零项。

$detA=16-4-4-4+1=5$detA=16−4−4−4+1=5

16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。

• 代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。

1. 主元公式

消元过程会让主元 d1​,⋯,dn​ 最后出现在矩阵 $U$U 的对角线上，如果没有行交换，那么有：

$detA=\left(detL\right)\left(detU\right)=\left(1\right)(d_1{d}_2\cdots d_n)$detA=(detL)(detU)=(1)(d1​d2​⋯dn​)

如果有行交换，那么有 $PA=LU$PA=LU 而且有 $\mid P\mid =\pm 1$∣P∣=±1，所以

$detA=\pm (d_1{d}_2\cdots d_n)$detA=±(d1​d2​⋯dn​)

如果主元的个数少于 $n$n，那么 $detA=0$detA=0，矩阵是不可逆的。

• 例 1

• 例 2

$detA=2\ast \frac{3}{2}\ast \frac{4}{3}\ast \frac{5}{4}\cdots \ast \frac{n+1}{n}=n+1$detA=2∗23​∗34​∗45​⋯∗nn+1​=n+1

而且，我们可以看到，前 $k$k 个主元来自于矩阵 $A$A 左上角大小为 $k\times k$k×k 的矩阵 $A_k$Ak​。

$det{A}_k=d_1{d}_2\cdots d_k$detAk​=d1​d2​⋯dk​

假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 $A_k=L_k{U}_k$Ak​=Lk​Uk​，因此

$\frac{det{A}_k}{det{A}_{k-1}}=\frac{det{U}_k}{det{U}_{k-1}}\to d_k=\frac{d_1{d}_2\cdots d_{k-1}{d}_k}{d_1{d}_2\cdots d_{k-1}}$det Ak−1​det Ak​​=det Uk−1​det Uk​​→dk​=d1​d2​⋯dk−1​d1​d2​⋯dk−1​dk​​

2. 大公式

大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 $3\times 3$3×3 矩阵的计算公式如下所示。

注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。

由行列式的线性性质我们可以将一个 $2\times 2$2×2 矩阵的行列式分成四项：

其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 $2!=2$2!=2 项需要计算。

对于一个 $3\times 3$3×3 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。

前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。

因此，矩阵 $A$A 的行列式是 $n!$n! 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。

3. 代数余子式公式

利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。

其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 $2\times 2$2×2 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 $a_{11}，a_{12}，a_{13}$a11​，a12​，a13​，余下的行贡献出代数余子式 $C_{11}，C_{12}，C_{13}$C11​，C12​，C13​，然后行列式的值就是 $a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+a_{13}{C}_{13}$a11​C11​+a12​C12​+a13​C13​。

接下来，我们需要注意符号。要计算 $C_{1j}$C1j​，我们划掉第 $1$1 行第 $j$j 列来产生一个大小为 $n-1$n−1 的子矩阵 $M_{1j}$M1j​，然后

$C_{1j}=(-1{)}^{1+j}det{M}_{1j}$C1j​=(−1)1+jdet M1j​

$detA=a_{11}{C}_{11}+a_{12}{C}_{12}+\cdots +a_{1n}{C}_{1n}$det A=a11​C11​+a12​C12​+⋯+a1n​C1n​

注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 $C_{ij}$Cij​ 来说，我们划掉第 $i$i 行第 $j$j 列来产生一个大小为 $n-1$n−1 的子矩阵 $M_{ij}$Mij​。

$C_{ij}=(-1{)}^{i+j}det{M}_{ij}$Cij​=(−1)i+jdet Mij​

$detA=a_{i1}{C}_{i1}+a_{i2}{C}_{i2}+\cdots +a_{in}{C}_{in}$det A=ai1​Ci1​+ai2​Ci2​+⋯+ain​Cin​

同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。

$detA=a_{1j}{C}_{1j}+a_{2j}{C}_{2j}+\cdots +a_{nj}{C}_{nj}$det A=a1j​C1j​+a2j​C2j​+⋯+anj​Cnj​

代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。

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