在最长公共子序列（LCS）问题中，设计出 dp[i][j] 这样的二维动态规划数组，是基于对问题本质的分析和动态规划思想的自然推导。具体思路可以拆解为以下几步：

1. 首先理解问题的核心矛盾

LCS 问题要解决的是：两个字符串中，找出长度最长的、顺序一致但不要求连续的公共子序列。
例如 str1="abcbdab" 和 str2="bdcaba"，LCS 是 "bcab" 或 "bdab"，长度为 4。

关键矛盾在于：子序列的“不连续性”和“顺序一致性” 导致无法用简单的遍历解决，必须记录中间状态才能逐步推导。

2. 从“子问题”入手（动态规划的核心思想）

动态规划的本质是将复杂问题拆解为可重复解决的子问题，并通过记录子问题的解来避免重复计算。

对于 LCS 问题，最自然的子问题拆分方式是：

  • 考虑 str1 的前 i 个字符（str1[0..i-1]）和 str2 的前 j 个字符（str2[0..j-1]）
  • 计算这两个“前缀子串”的 LCS 长度

为什么这样拆分？因为：

  • 整个问题的解（完整字符串的 LCS）可以由这些子问题的解组合而来
  • 子问题之间存在重叠（例如计算 i=3,j=4 时可能用到 i=2,j=3 的结果）

3. 定义状态：用 dp[i][j] 表示子问题的解

基于上述子问题，直接定义状态：
dp[i][j] = 字符串 str1 的前 i 个字符与 str2 的前 j 个字符的 LCS 长度。

为什么需要二维？因为子问题的边界由两个独立变量确定：i（str1 的前缀长度）和 j（str2 的前缀长度）。少了任何一个维度，都无法唯一确定子问题的范围。

4. 推导状态转移方程（如何用子问题解求当前问题解）

确定状态后，需要找到 dp[i][j] 与更小的子问题（如 dp[i-1][j]、dp[i][j-1]、dp[i-1][j-1]）之间的关系。

分两种情况分析：

  • 情况1：str1[i-1] == str2[j-1]（当前字符相同）
    这两个字符可以直接加入 LCS 中，因此当前 LCS 长度 = 两个字符串各去掉最后一个字符后的 LCS 长度 + 1，即：
    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1

  • 情况2：str1[i-1] != str2[j-1]（当前字符不同）
    两个字符无法同时加入 LCS，因此当前 LCS 长度取决于“去掉 str1 最后一个字符”或“去掉 str2 最后一个字符”两种情况的最大值，即：
    dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

5. 确定初始状态（最小子问题的解）

当 i=0 或 j=0 时（即其中一个字符串为空），LCS 长度必然为 0。因此：
dp[0][j] = 0（对任意 j）
dp[i][0] = 0（对任意 i）

6. 最终解的位置

整个问题的解是两个完整字符串的 LCS 长度，即 dp[str1.length][str2.length]。

总结：为什么这样设计 dp 数组？

  1. 问题特性决定维度：LCS 涉及两个独立字符串的匹配，必须用两个维度（i 和 j）分别表示它们的前缀范围。
  2. 子问题自然拆分：拆分前缀子串的 LCS 是最直观的子问题划分方式，能覆盖所有可能的匹配情况。
  3. 状态转移逻辑自洽：通过当前字符是否相同的两种情况，能清晰地用更小的子问题解推导出当前解。

这种设计是动态规划“拆分问题→定义状态→寻找转移关系”思想的典型应用，也是解决“两个序列匹配”类问题的通用思路（如编辑距离、最长重复子数组等均采用类似的二维 DP 设计）。