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[Sdoi2008]沙拉公主的困惑

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Description

　　大富翁国因为通货膨胀，以及假钞泛滥，政府决定推出一项新的政策：现有钞票编号范围为1到N的阶乘，但是，政府只发行编号与M!互质的钞票。房地产第一大户沙拉公主决定预测一下大富翁国现在所有真钞票的数量。现在，请你帮助沙拉公主解决这个问题，由于可能张数非常大，你只需计算出对R取模后的答案即可。R是一个质数。

Input

第一行为两个整数T，R。R<=10^9+10，T<=10000，表示该组中测试数据数目，R为模后面T行，每行一对整数N，M，见题目描述 m<=n

Output

共T行，对于每一对N，M，输出1至N！中与M！素质的数的数量对R取模后的值

Sample Input

1 11
4 2

Sample Output

1

数据范围：
对于100%的数据，1 < = N , M < = 10000000

 

题意：求中互质的数的个数，其中。

 

分析：因为，所以，我们很容易知道如下结论

     对于两个正整数和，如果是的倍数，那么中与互素的数的个数为

 

     本结论是很好证明的，因为中与互素的个数为，又知道，所以

     结论成立。那么对于本题，答案就是

 

     

 

      其中为小于等于的所有素数，先筛选出来即可。由于最终答案对一个质数取模，所以要用逆元，这里

      求逆元就有技巧了，用刚刚介绍的递推法预处理，否则会TLE的。

 

代码：

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  1. #include <iostream>  
  2. #include <string.h>  
  3. #include <stdio.h>  
  4. #include <bitset>  
  5.   
  6. using namespace std;  
  7. typedef long long LL;  
  8. const int N = 10000005;  
  9.   
  10. bitset<N> prime;  
  11.   
  12. void isprime()  
  13. {  
  14.     prime.set();  
  15.     for(int i=2; i<N; i++)  
  16.     {  
  17.         if(prime[i])  
  18.         {  
  19.             for(int j=i+i; j<N; j+=i)  
  20.                 prime[j] = false;  
  21.         }  
  22.     }  
  23. }  
  24.   
  25. LL ans1[N],ans2[N];  
  26. LL inv[N];  
  27.   
  28. int main()  
  29. {  
  30.     isprime();  
  31.     int MOD,m,n,T;  
  32.     scanf("%d%d",&T,&MOD);  
  33.     ans1[0] = 1;  
  34.     for(int i=1; i<N; i++)  
  35.         ans1[i] = ans1[i-1] * i % MOD;  
  36.     inv[1] = 1;  
  37.     for(int i=2;i<N;i++)  
  38.     {  
  39.         if(i >= MOD) break;  
  40.         inv[i] = (MOD - MOD / i) * inv[MOD % i] % MOD;  
  41.     }  
  42.     ans2[1] = 1;  
  43.     for(int i=2; i<N; i++)  
  44.     {  
  45.         if(prime[i])  
  46.         {  
  47.             ans2[i] = ans2[i-1] * (i - 1) % MOD;  
  48.             ans2[i] = ans2[i] * inv[i % MOD] % MOD;  
  49.         }  
  50.         else  
  51.         {  
  52.             ans2[i] = ans2[i-1];  
  53.         }  
  54.     }  
  55.     while(T--)  
  56.     {  
  57.         scanf("%d%d",&n,&m);  
  58.         LL ans = ans1[n] * ans2[m] % MOD;  
  59.         printf("%lld\n",ans);  
  60.     }  
  61.     return 0;  
  62. }  


 

接下来还有一个关于逆元的有意思的题目，描述如下

 

     

 

证明：由

 

     

 

     其中

 

     所以只需要证明，而我们知道模的逆元对应全部

     中的所有数，既是单射也是满射。

 

     所以进一步得到

 

      

 

      证明完毕！