Zoj 2316 Matrix Multiplication(思路)

H - Matrix Multiplication

首先我先说明一下，如果我英语不是太渣的话那么题中说的矩阵是 $n * m$ 的矩阵。（我知道是 $n * n$ 的邻接矩阵）。但是我看题解矩阵 $A$ 都是 $n * n$ 的邻接矩阵

题意：

$n $ 个顶点， $m $ 个双向边，下面输入 $m $ 个边，从而生成一个矩阵 $A $ ,如果顶点 $u $ , $v $ 之间有一条边，那么 $A_{u <mtext> </mtext> v} $ 的值为1，否则为 $0 $ 。现在让你求 $A^{T} * A $ 所得的矩阵的元素和。

解法：

首先因为边是双向的，所以 $A^{T} = A$ ，故求 $A * A$ 的元素和即可。但很明显的是矩阵相乘肯定不行，时间复杂度太大。

我们可以转化为另一个问题，路径长度为2的所有路径个数。

可以用组合学的加法原理，因为所有路径长度为2的路径的中间节点是确定的，我们可以把问题转化为 $1$ ~ $n$ 每个节点作为长度为2的路径的中间节点的路径条数之和，比如样例边 1 2 ，2 3,对应的所有路径有

2 1 2

1 2 1

1 2 3

3 2 1

3 2 3

2 3 2

我们可以枚举每个顶点u，顶点u作为路径长度为2的中间节点的路径个数为:顶点 $u$ 的入度 $*$ 顶点 $u$ 的出度, 又因为边是双边边，故每个顶点的入度等于出度。

故我们求所有顶点 $u$ 的度数平方和即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn=1e4+200;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
ll degree[maxn];
int main(){
    ll ans=0;
    int t,n,m,cas=0;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        if(cas)
            puts("");
        cas=1;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        mset(degree,0);
        for(int i=1;i<=m;++i){
            int u,v;
            scanf("%d %d",&u,&v);
            degree[u]+=1;
            degree[v]+=1;
        }
        ans=0ll;
        for(int i=1;i<=n;++i){
            ans+=degree[i]*degree[i];
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}