莫比乌斯反演定理的证明。

初学给自己做个笔记，怕以后忘了。

前置知识：莫比乌斯函数的两个性质：

（这里证明用不到)

定理：若有定义在上的函数满足关系：

，则有：

证明：我们只需证上述等式右边等于左边即可。

​

= （定义) (1)

= (分配律) (2)

= (的地位是可交换的) (3)

= (结合律) (4)

= (性质1) (5)

证毕。

如果这里还是看不懂请看下面。

对于的解释：

因为

可以理解为对每个的因子求出所有满足的,即二元组的个数。

举个例子：.

因为都是的因子，所以地位等价。

即条件可以改为

每个的因子求出所有满足的,即二元组的个数。

的解释：

显然当时，。

只有当时，

即=。