还是从麦克斯韦方程推出电磁场的波动方程：

一.麦克斯韦方程组

①： ▽×H=J+∂D∂t $▽\times H=J+\frac{\partial D}{\partial t}$
②： ▽×E=−∂B∂t $▽\times E=-\frac{\partial B}{\partial t}$
③： ▽⋅B=0 $▽\cdot B=0$
④： ▽⋅D=ρ $▽\cdot D=\rho$
其中：
D=εE $D=\epsilon E$
B=μH $B=\mu H$

二.电磁波动方程

把①②都再求一次旋度：

其中：
▽×∂D∂t=▽×D∂t=ε▽×E∂t=ε−∂B∂t∂t=ε∂2B∂t2=με∂2H∂t2 $▽\times \frac{\partial D}{\partial t}=\frac{▽\times D}{\partial t}=\epsilon \frac{▽\times E}{\partial t}=\epsilon \frac{-\frac{\partial B}{\partial t}}{\partial t}=\epsilon \frac{{\partial }^{2}B}{\partial t^2}=\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}H}{\partial t^2}$

▽×∂B∂t=∂▽×B∂t=μ∂▽×H∂t=μ∂(J+∂D∂t)∂t=μ∂J∂t+μ∂2D∂t2=μ∂J∂t+με∂2E∂t2 $▽\times \frac{\partial B}{\partial t}=\frac{\partial ▽\times B}{\partial t}=\mu \frac{\partial ▽\times H}{\partial t}=\mu \frac{\partial (J+\frac{\partial D}{\partial t})}{\partial t}=\mu \frac{\partial J}{\partial t}+\mu \frac{{\partial }^{2}D}{\partial t^2}=\mu \frac{\partial J}{\partial t}+\mu \epsilon \frac{{\partial }^{2}E}{\partial t^2}$
辣么上式化为：

▽(▽⋅H)=0 $▽(▽\cdot H)=0$
▽(▽⋅E)=▽(ρε) $▽(▽\cdot E)=▽\left(\frac{\rho }{\epsilon }\right)$

式子又简化成：

再弄成右边只有源且排列整齐：

然后就是两个规范：

三.矢量磁位和标量电位

⑤库伦规范： B=▽×A $B=▽\times A$
⑥洛伦兹规范： ▽⋅A+με∂φ∂t=0 $▽\cdot A+\mu \epsilon \frac{\partial \phi }{\partial t}=0$
其中 A $A$是矢量磁位， φ $\phi$是标量电位

为什么我们要弄个什么矢量磁位和标量电位的呢？
你看，上面那些源不是求散度就是求旋度，正常情况下根本就不好求，所以才会有这样一种东西～
现在将⑤代入②会得到：
▽×E=−▽×∂A∂t $▽\times E=-▽\times \frac{\partial A}{\partial t}$
即：
▽×(E+∂A∂t)=0 $▽\times (E+\frac{\partial A}{\partial t})=0$
但是这种不好看，想写成这样：
▽×▽φ=0 $▽\times ▽\phi =0$
当 E=−▽φ−∂A∂t $E=-▽\phi -\frac{\partial A}{\partial t}$就好了
这样 E $E$和 B $B$都阔以用 A $A$和 φ $\phi$表示了

于是，把 E $E$和 B $B$他们代入到有源的①和④两个式子里
最后写出来就是这样的：

对比一下，是不是后一个非常简介呢：

后两个就叫做”达朗贝尔方程”