一、题目描述

JZ63 数据流中的中位数
题目大意：设计一个类，它有两个方法，Insert(num)可以插入一个数num，GetMedian()返回所有插入的数中的中位数（若一共插入了偶数个，则取中间两个数的平均值；若一共插入了奇数个，则取中间一个即可）

二、算法1（暴力法）

解题思路

用一个数组来存放所有数，每次GetMedian之前都排序一下，再根据数组的大小确定中位数

代码实现（C++11）

class Solution {
public:
    vector<int> arr;

    void Insert(int num) {
        arr.push_back(num);
    }

    double GetMedian() { 
        sort(arr.begin(), arr.end());    // 从小到大排序
        int n = arr.size();
        if(n % 2 == 0){    // 若数组大小为偶数
            return (arr[n / 2] + arr[(n / 2) - 1]) / 2.0;
        }
        return (double)arr[n / 2];    // 为奇数则返回中间的数
    }
};

时间复杂度：O(m + knlogn), m为Insert执行的次数，一次Insert操作的时间复杂度是O(logn)，n为插入的元素数量，k为GetMedian执行的次数，一次GetMedian的时间复杂度是O(nlogn)
空间复杂度：O(n)，n为插入元素的数量

三、算法2（对顶堆）

解题思路

1. 本题是对顶堆算法的一个经典题，所谓对顶堆算法，实际上就是使用一个小顶堆和一个大顶堆
2. 对于求动态中位数的问题，我们可以利用堆的性质，可以在logn的时间复杂度取出最大值或最小值，那么我们可以用大顶堆维护前一半的数，用小顶堆维护后面一半的数
3. 我们规定，若元素总数为奇数，那么大顶堆的元素个数要比小顶对的个数多1，这样，当总数为奇数时，中位数就是大顶堆的堆顶元素；当总数为偶数时，中位数就大顶堆堆顶和小顶堆堆顶元素的平均值

代码实现（C++11）

class Solution {
public:
    priority_queue<int> max_heap;    // 大顶堆
    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> min_heap;    // 小顶堆

    void Insert(int num) {
        if(max_heap.empty() || max_heap.top() > num) max_heap.push(num);    // 大顶堆为空或大顶堆堆顶大于插入元素
        else min_heap.push(num);    // 否则加入小顶堆

        // size()方法得到的类型size_type是无符号的, 切记不要直接放在判断语句中, 要先转成int型
        int a = max_heap.size(), b = min_heap.size();

        if(a - b > 1){    // 大顶堆元素数量过多，保证大顶堆大小-小顶堆大小大于等于1
            int p = max_heap.top(); max_heap.pop();
            min_heap.push(p);
        }
        else if(b > a){    // 小顶堆元素数量过多
            int p = min_heap.top(); min_heap.pop();
            max_heap.push(p);
        }
    }

    double GetMedian() { 
        if(max_heap.si***_heap.size()){    // 偶数长度，返回两数的平均值
            return (max_heap.top() + min_heap.top()) / 2.0;
        }
        return (double)max_heap.top();    // 奇数长度，返回大顶堆堆顶
    }
};

时间复杂度：O(mlogn + k)，m为Insert执行的次数，一次Insert操作的时间复杂度是O(logn)，n为插入的元素数量，k为GetMedian执行的次数，一次GetMedian的时间复杂度是O(1)
空间复杂度：O(n)，n为插入的元素数量