MP（kmp）字符串搜索算法详解

目的：判断目标串（T串）中是否含有模式串（P串）。

失配

T t0 t1 t2 …… tk tk+1
P p0 p1 p2 …… pk

由于字符串T和P第一个不相等的字符出现在位置k，所以两字符前k个字符是相等的，也说明两串在位置k处失配。

失效函数

定义：记录字符串P中各个字符之间关系的函数。

定义域：自变量 j 的取值范围是P在“失配”前匹配的字符个数，定义域为0~len（P）-1（len（P）为P的字符串长度）。
例如：P = caatcat，失效函数的定义域为 j ∈ {0，1，2，3，4，5，6}。

值域：k ∈ {x | 0 ≤ x ＜j }，且k为满足p0p1…pk = pj-k pj-k+1…pj的最大正整数。
若k不存在，则失效函数的取值为-1。

例：以 P = caatcat 的失效函数为例作表。
j = 0：0 ≤ k＜0，k不存在，f（0） = -1；
j = 1：0 ≤ k＜1，k = 0， p0 ≠ p1（‘c’ ≠ ‘a’），k不满足条件故不存在，f（1） = -1；
j = 2：k = 0、1，p0 ≠ p2且p0 p1 ≠ p1p2，k不满足条件故不存在，f（2） = -1；
j = 3：k = 0、1、2，p0 ≠ p3且p0 p1 ≠ p2p3且p0 p1p2 ≠ p1p2p3，k不满足条件故不存在，f（3） = -1；
j = 4：k = 0、1、2、3，p0 ＝ p4且p0 p1 ≠ p3p4且p0 p1p2 ≠ p2p3p4且p0 p1p2p3 ≠ p1p2p3p4，k=0满足条件，f（4） = 0；
j = 5：k = 0、1、2、3、4，p0 ≠ p5且p0 p1 = p4p5且p0p1p2≠ p3p4p5且p0p1p2p3≠ p2p3p4p5以及p0p1p2p3p4 ≠ p1p2p3p4p5，k = 1满足条件，f（5） = 1；
同理可求f（6） = -1；
失效函数：
图片说明
失配函数 f (j) 仅与模式P有关，与目标T无关，所以只要是同一个P，失效函数就适用。

mp匹配

长串在短串某个字符匹配成功时向前移动一个位置

失配情况发生在模式P的第j位
: j = 0：让目标T的指针前进一位，模式P的起始比较地址为p0
: j ≠ 0：目标T的指针不发生回溯，仍指向失配的位置，模式P的起始比较地址为P[f（j-1）+1]
在这里插入图片描述
mp算法是时间复杂度为O(m+n)[^1]
[^1]: P字符串的长度为m，T字符串长度为n

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
void preMP(const char* x, int m, int mpNext[]) {
  int i, j;
  i = 0;
  j = mpNext[0] = -1;
  while (i < m) {
    while (j > -1 && x[i] != x[j])
      j = mpNext[j];
    mpNext[++i] = ++j;//mpNext(j)=f(j-1)+1
  }
}
void MP(string p, string t) {
  int m = p.length();
  int n = t.length();
  //模式串长度大于目标串即找不到 
  if (m > n) {
    cout << "unsuccessful match!" << endl;
    return;
  }
  /*c_str()用法：将string转换为c的字符串类型 
  详解：https://blog.csdn.net/qq_29493173/article/details/100043142  
  */ 
  const char* x = p.c_str();
  const char* y = t.c_str();
  //i是模式串P的指针位置 j是目标串T的指针位置 
  int i = 0, j = 0;
  /*mpNext[]存储的是失配发生时，下一轮P的起始比较地址;
  因为存储的是P，数组大小比P长度略大即可*/
  int mpNext[m+1];
  //为mpNext[]赋值 
  preMP(x, m, mpNext);
  //T的指针没到末尾就一直寻找 
  while (j < n) {
    //指针指向位置的元素不同，且不为P首元素，P的指针将指向下一个索引位置 
    while (i > -1 && x[i] != y[j])
      i = mpNext[i];
    //若两指针指向元素相同，一齐往后移动1
    i++;
    j++;
    //找到完整P串输出index 
    if (i >= m) {
      cout << "index at:" << j-i << endl;
      i = mpNext[i];//可继续找下一个P串的index 
    } 
  }
}
int main() {
  fio
  string t = "ctcaatcacaatcat";
  string p = "caatcat";
  MP(p, t);
}

KMP

KMP算法与MP非常相像，用kmpNext[ ]表对P中符合要求的加标边际进行标识。

u表示P、T匹配相同的一段子串，v表示失配移动后匹配到子串u的某一部分后缀，i处的“a”与j+i处的“b”失配。
符合要求：（简单来说就是对MP的移动进一步筛选处理）
①偏移后的v是可以匹配到u中某个后缀的一个最长前缀。
②v后面的字符c和u后面的字符a不同（因为a与b失配）
在这里插入图片描述
kmpNext表的建立可以在mpNext表的基础之上，分为四种情况，其中1 ≤ j ≤ m-1：

1.如果mpNext[j] = 0 且 pj = p0，则令kmpNext[j] = -1；
2.如果mpNext[j] = 0 且 pj ≠ p0，则令kmpNext[j] = 0；
3.如果mpNext[j] ≠ 0 且 pj ≠ pmpNext[j]，则令kmpNext[j] = mpNext[j]；
4.如果mpNext[j] ≠ 0 且 pj = pmpNext[j]，则令 j 替换成mpNext[j]，直到情况转换为前三种，进而递归求解kmpNext[j]；

仍以caatcat为例求出kmpNext表：
图片说明

KMP模板

#include<bits/stdc++.h>
#define fio ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
using namespace std;
void  preKMP(const char* x, int m, int kmpNext[]) {
  int i = 0, j;
  j = kmpNext[0] = -1;
  while (i < m) {
    while (j > -1 && x[i] != x[j])
      j = kmpNext[j];
    i++;
    j++;
    /*与mp不同的地方*/
    if (x[i] == x[j])
      kmpNext[i] = kmpNext[j];
    else 
      kmpNext[i] = j; 
  }
} 
void kmp(string p, string t) {
  int n = t.length();
  int m = p.length();
  if (m > n) {
    cout << "find unsuccesfully"<< endl;
    return;
  }
  //i短串，j长串 
  int i = 0, j = 0, kmpNext[m+1];
  const char* x = p.c_str();
  const char* y = t.c_str();
  preKMP(x, m, kmpNext);
  while (j < n) {
    while (i > -1 && x[i] != y[j])
      i = kmpNext[i];
    i++;
    j++;
    if (i >= m) {
      cout << "index at:" << j-i << endl;
      i = kmpNext[i];
    }
  }
}
int main() {
  fio
  string t = "ctcaatcacaatcat";
  string p = "caatcat";
  kmp(p, t);
}