解决ax+by=c，不定方程（扩展欧几里得）

首先有几个定理我们需要知道，在这里我也会一一证明。

——————————————————————————————————————

定理1：gcd(a,b)==gcd(b,a%b);这个是欧几里得提出并证明的。 (%是取余的意思，在数学中

可用mod表示)；

以下是证明过程

——————————————————————————————————————

令a = k * b + r; （k为整数）；=> r = a%b;

设d是a,b的任意一个公约数。=> d|a, d|b(d|a的意思是d能被a整除)；

又 r = k * b - a    =>d|（k*b - a）;

以上可得d|b, d|(a%b),   =>d是b, a % b的公约数；

以上得 d既是a,b的公约数，又是b, a % b的公约数；

以上可得 gcd(a, b) == gcd(b, a%b);

证毕

——————————————————————————————————————

定理2:a*x + b*y ==gcd(a,b)一定存在解。这个定理又叫裴蜀定理，或贝祖定理。

以下会证明过程

——————————————————————————————————————

现在还不会............

——————————————————————————————————————

以下是求解 a*x +b*y  == gcd(a,b)的过程。

——————————————————————————————————————

当 b = 0时，a * x == gcd(a,0) == a;  =>x=1,y=0;

当a>b>0时：

由定理1得gcd(a,b) == gcd(b,a%b);

易得 a*X1 + b*Y1 == b * X2 + (a % b) * Y2;

=> a*X1 + b*Y1 == b * X2 +(a-[a / b] * b) * Y2;  (此处的/是不带余除法，也就是c++中的/);

=> a*X1 + b*Y1 == a * Y2 + b * (X2 - [a / b] * y2);

以上可得 1. X1 == Y2;

               2.Y1 == X2 - [a / b] * y2;

显然 以上两个方程式可以一直递归下去；

我们只要递归到b == 0的时候，就能求出Xn = 1, Yn = 0。然后我们一直往前回溯就能求出

X1,Y1;

代码如下：

#include<stdio.h>
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y);
int main()
{
	
	int a, b, x = 0, y = 0;
	
	scanf("%d %d",&a, &b);
	
	int gcd = exgcd(a,b,x,y);
	
	printf("%d %d %d\n", gcd, x, y);
	
	
	return 0;
} 

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	
	if(b>a)
	return exgcd( b,  a,  y,  x);
	
	if(b==0)
	{
		x = 1, y = 0;
		return a;
	}
	int r=exgcd(b, a%b, x, y);
	
	int temp = x;
	
	x = y;
	
	y = temp - (a/b) * y;
	
	return r;
	
}

以上是求 a*x +b*y == gcd(a,b)某一组特解X1,Y1的过程

所以a*x + b*y == gcd(a,b)的通解为 X = X1 - b/gcd(a,b)*t

                                                        Y = Y1 + a/gcd(a,b)*t        t为任意整数。

——————————————————————————————————————

以下就是求ax + by = c的过程。为了好表示，我们将上一步的ax + by == gcd(a,b) 等价为

 am + bn == gcd(a,b).

——————————————————————————————————————

当c % gcd(a,b) == 0 时有解，令 k * gcd(a,b) == c;

=> k*a*m + k*b*n == k*gcd(a,b);

=>x == k*m == c*m/gcd(a,b)  ,  y == k*n == c*n/gcd(a,b) ;

设 X0 ，Y0 是 a*x + by 的某一特解。则 该不定方程的通解为

X = X0 - b/gcd(a,b)*t;

Y = Y0 + a/gcd(a,b)*t;            t为任意一个整数

X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b);

Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b);

——————————————————————————————————————

综上求解不定方程a*x + b*y == c的步骤为

1.  先用扩展欧几里得求出 a*m + b* y ==gcd(a,b)的一组特解 M0,N0;

2.  求出a*x + b*y ==c 的通解为    X = (c*M0 - b*t)/gcd(a,b);

                                                     Y = (c*N0 + a*t)/gcd(a,b);