题意

已知 $\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^2}=\frac{\pi}{2}$ ，现在给一个序列 $a_1,a_1...a_n$ ，求 $\frac{1}{\pi}\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}dx$

分析

由于原式 $\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}$ 分母是乘积的形式，考虑通过裂项化为相加的形式，并使用待定系数法，也就是 $\frac{C_1}{(a_1^2+x^2)}+\frac{C_2}{(a_2^2+x^2)}+...+\frac{C_n}{(a_n^2+x^2)}=\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}$ ，现在为了求出 $C_1$ ，我们在方程左右两边同乘 $a_1^2+x^2$ 并移项，得到 $C_1=\frac{a_1^2+x^2}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}-(\frac{C_2*a_1^2+x^2}{(a_2^2+x^2)}+...+\frac{C_n*a_1^2+x^2}{(a_n^2+x^2)})$ ，那么如果我们取 $x^2=-a_1^2$ ，代入可以得到 $C_1=\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2-a_1^2)(i!=1)}$ ，同理我们可以O(n^2)算出这所有系数。

求出系数之后，原式即为 $\int_0^{\infty}\frac{1}{\prod_{i=1}^n(a_i^2+x^2)}dx=\int_0^{\infty}\sum \frac{c_i}{a_i^2+x^2}dx=\sum\frac{1}{a_i^2}\int_0^{\infty}\frac{c_i}{1+(\frac{x}{a_i})^2}dx$ ，换元，由题意可得到结果为 $\sum\frac{c_i}{2a_i}\pi$ 。

代码

交给队友了 ○|￣|_

2019牛客多校第一场B-Integration

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