对于 对石子，每堆有 个，每次可以从一堆取走任意多个，求每个状态是必胜还是必败。 结论是当且仅当 ^ ^ ^ 时必败。 证明： 1：若 ^ ^ ^ ，那么操作后 ^ ^ ^ 。因为若存在 满足 ^ ^ ^ ^ ^ ，那么将两式异或，则 ^ ，矛盾。 2：若 ^ ^ ^ ，那么存在 满足 ^ ^ ^ ^ ^ 。考虑 k 的最高位，则一定有某个 ，它的这一位不为。那么 ^ 。那么将 取走 ^ ，则 ^ ^ ^ ^ ^ 。 而只有异或和为 的时候游戏才可能结束，故结论成立。