题解 | #小红的矩阵#

题目链接

小红的矩阵

题目描述

小红有一个 $n \times m$ 的矩阵，矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $i \times j$ ，小红想知道矩阵中第 $k$ 小的元素是多少。

输入:

一行三个整数 $n$ 、 $m$ 、 $k$ ，分别表示矩阵的行数、列数和要找的第k小的数

输出:

输出一个整数表示答案

解题思路

这是一个二分查找问题，可以通过以下步骤解决：

关键发现：
- 矩阵中第 i 行第 j 列的元素是 i×j
- 矩阵是行列都有序的（每行每列都递增）
- 不需要实际构造矩阵，只需要能够计算有多少个数小于等于某个值
解题策略：
- 使用二分查找猜测第k小的数
- 对于每个猜测的数，计算矩阵中有多少个数小于等于它
- 根据计数结果调整二分查找的范围
具体步骤：
- 确定二分查找的范围（1到n×m）
- 对于每个中间值，计算矩阵中小于等于它的数的个数
- 根据计数结果调整二分范围
- 最终找到第k小的数

代码

c++
java
python

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 计算矩阵中小于等于mid的数的个数
long long count(long long n, long long m, long long mid) {
    long long cnt = 0;
    for(long long i = 1; i <= n; i++) {
        // 对于每一行，计算有多少个数小于等于mid
        cnt += min(m, mid / i);
        if(cnt > 1e18) return cnt;  // 防止溢出
    }
    return cnt;
}

int main() {
    long long n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    
    long long left = 1, right = n * m + 1;  // 增大右边界
    while(left < right) {
        long long mid = left + (right - left) / 2;
        if(count(n, m, mid) >= k) {
            right = mid;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    
    cout << left << endl;
    return 0;
}

import java.util.*;

public class Main {
    // 计算矩阵中小于等于mid的数的个数
    static long count(long n, long m, long mid) {
        long cnt = 0;
        for(long i = 1; i <= n; i++) {
            // 对于每一行，计算有多少个数小于等于mid
            cnt += Math.min(m, mid / i);
            if(cnt > (long)1e18) return cnt;  // 防止溢出
        }
        return cnt;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long n = sc.nextLong();
        long m = sc.nextLong();
        long k = sc.nextLong();
        
        long left = 1, right = n * m + 1;  // 增大右边界
        while(left < right) {
            long mid = left + (right - left) / 2;
            if(count(n, m, mid) >= k) {
                right = mid;
            } else {
                left = mid + 1;
            }
        }
        
        System.out.println(left);
    }
}

def count(n, m, mid):
    # 计算矩阵中小于等于mid的数的个数
    cnt = 0
    for i in range(1, n + 1):
        # 对于每一行，计算有多少个数小于等于mid
        cnt += min(m, mid // i)
        if cnt > 10**18:  # 防止溢出
            return cnt
    return cnt

n, m, k = map(int, input().split())

left, right = 1, n * m + 1  # 增大右边界
while left < right:
    mid = left + (right - left) // 2
    if count(n, m, mid) >= k:
        right = mid
    else:
        left = mid + 1

print(left)

算法及复杂度

算法：二分查找
时间复杂度： $\mathcal{O}(n \log(n \cdot m))$ - 二分查找需要 $\log(n \cdot m)$ 次，每次需要 $O(n)$ 时间计数
空间复杂度： $\mathcal{O}(1)$ - 只需要常数空间

注意：

不需要实际构造矩阵，只需要能够计算小于等于某个数的元素个数
所有变量都使用 long long/long 类型避免整数溢出
在计数时需要处理溢出情况
二分查找的右边界需要足够大