该问题属于经典的组合博弈论（Combinatorial Game Theory）范畴，具体为Nim游戏的一个变种。

理论核心：Sprague-Grundy定理与Nim和

在标准的Nim游戏中，每一个堆的石子数量对应一个Grundy值（即及其石子数本身）。游戏局面的胜负性由所有堆石子数量的异或和（XOR Sum，记为 ）决定：

  • 必败态（P-position）：所有堆石子数量的异或和等于 0。无论先手如何操作，后手总能找到策略让异或和保持为 0，直到所有石子被取完（0）。
  • 必胜态（N-position）：所有堆石子数量的异或和不等于 0。先手一定存在某种操作，使得操作后的局面异或和变为 0，从而将必败态留给对手。

问题的转化

在这个变种中，小A拥有一次“赛前作弊”的机会（从小B不注意时拿走 个石子，或者不拿），随后小A作为正式游戏的先手进场。

小A获胜的充要条件是：在小A正式开始第一回合（从堆中取任意石子）之前，桌面上石子的状态必须是对小A有利的必胜态（即异或和 ）。

因为小A拥有选择权（作弊或不作弊），所以小A获胜的条件转化为：在所有可能的初始局面修改方案中，是否存在至少一种方案，使得修改后的局面异或和不为 0。

算法推导

我们需要分类讨论初始局面的异或和 以及修改能力 的关系。

设初始异或和 。

情况一：初始异或和

  • 分析：如果原始局面的异或和已经不为 0，根据Nim游戏规则，这本身就是一个必胜态。
  • 策略：小A选择“不拿石子”（即不使用作弊权）。
  • 结果：游戏以 开始，小A作为先手必胜。
  • 结论：直接输出 YES。

情况二：初始异或和

  • 分析：如果原始异或和为 0，这对于先手是必败态。小A必须利用“作弊权”来改变局面，使得新的异或和 。

  • 操作影响： 假设小A选择第 堆石子（数量为 ），并拿走 个。 新的异或和 计算如下： 由于 ，公式简化为：

  • 胜负判定： 小A获胜需要 ，即 。 这等价于 ，即 。 同时，操作必须合法，即被修改的堆必须有足够的石子：。

    • 子情况 1 ( 且 存在至少一堆 )： 只要能找到一堆石子数大于等于 ，小A就可以对其进行操作。由于 ，石子数必然发生改变，异或和也必然从 0 变为非 0。小A成功构造出必胜态。 结论：输出 YES。

    • 子情况 2 ( 但 所有 )： 小A想改变局面，但没有一堆石子足够让他拿走 个。操作不合法。小A被迫（或只能选择）不操作。 局面保持 。小A先手面临必败态。 结论：输出 NO。

    • 子情况 3 ()： 无论小A是否“拿走0个”，局面都不会改变，异或和始终为 0。 结论：输出 NO。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int n, k;
    cin >> n >> k;
    int S = 0;
    int max_a = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int a;
        cin >> a;
        S ^= a;
        max_a = max(max_a, a);
    }

    if (S != 0) {
        cout << "YES\n";
        return 0;
    }

    if (k > 0 && max_a >= k) {
        cout << "YES\n";
    } else {
        cout << "NO\n";
    }

    return 0;
}