一、定义
计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象。
二、特点
Heap是一种数据结构具有以下的特点：
1）完全二叉树；
2）heap中存储的值是偏序；
Min-heap: 父节点的值小于或等于子节点的值；
Max-heap: 父节点的值大于或等于子节点的值；
三、算法思想
不必将值一个个地插入堆中，通过交换形成堆。假设根的左、右子树都已是堆，并且根的元素名为R。这种情况下，有两种可能：
（1） R的值小于或等于其两个子女，此时堆已完成；
（2） R的值大于其某一个或全部两个子女的值，此时R应与两个子女中值较小的一个交换，结果得到一个堆，除非R仍然大于其新子女的一个或全部的两个。这种情况下，我们只需简单地继续这种将R“拉下来”的过程，直至到达某一个层使它小于它的子女，或者它成了叶结点。
四、筛选法
首先将要排序的所有关键码放到一棵完全二叉树的各个结点中（这时的完全二叉树并不具备堆的特性）。显然，所有的结点Ki都没有子女结点，因此以这样的Ki为根的子树已经是堆，然后从 的结点Ki开始，逐步把以为根的子树排成堆，直到以K0为根的子树排成堆，就完成了建堆过程。
在考虑将以Ki为根的子树排成堆时，以Ki+1，Ki+2，…，Kn-1为根的子树已经是堆，所以这时如果有Ki≤K2i+1和Ki≤K2i+2，则不必改变任何结点的位置，以Ki为根的子树就已经是堆；否则就要适当调整子树中结点的位置以满足堆的定义。由于Ki的左、右子树都已经是堆，根结点是堆中最小的结点，所以调整后Ki的值必定是原来K2i+1和K2i+2中较小的一个。不妨假定K2+1较小，将Ki与K2i+1交换位置，这样调整后Ki≤K2i，Ki≤K2i+1，并且以K2i+2为根的子树原来已经是堆，不必再作任何调整，只有以K2i+1为根的子树由于K2i+1的值已经发生变化（与Ki交换了），所以有可能不满足堆的定义（当K2i+1的左、右子树已经是堆）。这时可重复上述过程，考虑将K2i+1以为根的子树排成堆。如此一层一层递推下去，最多可以一直进行到树叶。由于每步都保证将子树中最小的结点交换到子树的根部，所以这个过程是不会反馈的。它就像过筛一样，把最小的关键码一层一层选择出来。
五、建堆效率
n个结点的堆，高度d =log2n。根为第0层，则第i层结点个数为2i，考虑一个元素在堆中向下移动的距离。大约一半的结点深度为d-1，不移动（叶）。四分之一的结点深度为d-2，而它们至多能向下移动一层。树中每向上一层，结点的数目为前一层的一半，而子树高度加一。
这种算法时间代价为Ο（n)
由于堆有log n层深，插入结点、删除普通元素和删除最小元素的平均时间代价和时间复杂度都是Ο（log n）。
六、操作
（1）build:建立一个空堆；
（2）insert:向堆中插入一个新元素；
（3）update：将新元素提升使其符合堆的性质；
（4）get：获取当前堆顶元素的值；
（5）delete：删除堆顶元素；
（6）heapify：使删除堆顶元素的堆再次成为堆。
七、代码
那么我们开始讲解操作过程吧，我们以小根堆为例
刚刚那组未处理过的数据中我们很容易就能看出，根节点1元素8绝对不是最小的
我们很容易发现它的一个儿子节点3(元素2)比它来的小，我们怎么将它放到最高点呢？很简单，直接交换嘛~~
但是，我们又发现了，3的一个儿子节点7(元素1)似乎更适合在根节点。
这时候我们是无法直接和根节点交换的，那我们就需要一个操作来实现这个交换过程，那就是上浮 shift_up。
操作过程如下：
从当前结点开始，和它的父亲节点比较，若是比父亲节点来的小，就交换，然后将当前询问的节点下标更新为原父亲节点下标；否则退出。
模拟操作图示:
伪代码如下：
Shift_up( i )
{
while( i / 2 >= 1)
{
if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ i/2 ] )
{
swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ i/2 ]) ;
i = i / 2;
}
else break;
｝
这一次上浮完毕之后呢，我们又发现了一个问题，貌似节点3(元素8)不太合适放在那，而它的子节点7(元素2)
好像才应该在那个位置。
此时的你应该会说:“赐予我力量，让节点7上浮吧，我是ACMer！”
然而，上帝(我很不要脸的说是我)赐予你另外一种力量，让节点3下沉！
那么问题来了：节点3应该往哪下沉呢？
我们知道，小根堆是尽力要让小的元素在较上方的节点，而下沉与上浮一样要以交换来不断操作，所以我们应该
让节点7与其交换。
由此我们可以得出下沉的算法了：
让当前结点的左右儿子(如果有的话)作比较，哪个比较小就和它交换，
并更新询问节点的下标为被交换的儿子节点下标，否则退出。
模拟操作图示：
伪代码如下：
Shift_down( i , n ) //n表示当前有n个节点
{
while( i * 2 <= n)
{
T = i * 2 ;
if( T + 1 <= n && 堆数组名[ T + 1 ] < 堆数组名[ T ])
T++;
if( 堆数组名[ i ] < 堆数组名[ T ] )
{
swap( 堆数组名[ i ] , 堆数组名[ T ] );
i = T;
}
else break;
}
讲完了上浮和下沉，接下来就是插入操作了~~~~
我们前面用的插入是直接插入，所以数据才会杂乱无章，那么我们如何在插入的时候边维护堆呢？
其实很简单，每次插入的时候呢，我们都往最后一个插入，让后使它上浮。
(这个不需要图示了吧…)
伪代码如下：
Push ( x ) {
n++;
堆数组名[ n ] = x;
Shift_up( n );
} 咳咳，说完了插入，我们总需要会弹出吧~~~~~
弹出，顾名思义就是把顶元素弹掉，但是，弹掉以后不是群龙无首吗？？
我们如何去维护这堆数据呢?
稍加思考，我们不难得出一个十分巧妙的算法：
让根节点元素和尾节点进行交换，然后让现在的根元素下沉就可以了!
(这个也不需要图示吧…)
伪代码如下：
Pop ( x ){
swap( 堆数组名[1] , 堆数组名[ n ] );
n--;
Shift_down( 1 );
} 接下来是取顶…..我想不需要说什么了吧，根节点数组下标必定是1，返回堆[ 1 ]就OK了~~
注意：每次取顶要判断堆内是否有元素，否则..你懂的
图示和伪代码省略，如果你这都不会那你可以重新开始学信息学了，当然如果你是小白….这种稍微高级的数据
结构还是以后再说吧。
说完这些，我们再来说说堆排序。之前说过堆是无法以数组下标的顺序来来排序的对吧?
所以我个人认为呢，并不存在堆排序这样的操作，即便网上有很多堆排序的算法，但是我这里有个更加方便的算法：
开一个新的数组，每次取堆顶元素放进去，然后弹掉堆顶就OK了~
伪代码如下：
Heap_sort( a[] )
{
k=0;
while( size > 0 )
{
k++;
a[ k ] = top();
pop();
}
} 堆排序的时间复杂度是O(nlogn)理论上是十分稳定的，但是对于我们来说并没有什么卵用。
我们要排序的话，直接使用快排即可，时间更快，用堆排还需要O(2*n)的空间。这也是为什么我说堆的操作
时间复杂度在O(1)~O(logn)。
八、例题
https://www.luogu.org/problemnew/show/P2085（题解：https://blog.csdn.net/weixin_43272781/article/details/88425544）
http://codevs.cn/problem/1063/
九、参考文章
https://www.cnblogs.com/wangchaowei/p/8288216.html
京公网安备 11010502036488号