序列合并最大 AND 值问题分析

1. 问题分析

目标：给定序列 ，通过任意次“相邻异或合并”操作，使得最终序列所有元素的按位与（AND）值最大。

核心运算性质：

  1. 合并操作：两个数合并变为异或和。由于异或结合律， 合并后的结果等于该区间的异或和 。
  2. 最终形态：操作结束后的序列实际上是将原序列切分成若干个连续子段，每一段内部全部异或起来。
  3. 目标函数：最大化所有子段异或和的按位与（Bitwise AND）。

难点：

  • 我们不知道最终应该剩下多少个数（1个、2个还是更多）。
  • 需要在保证高位为 的前提下尽可能让低位也为 。

2. 算法思想：按位贪心 (Bitwise Greedy)

对于“最大化按位运算结果”这类问题，通用的最优策略是从最高有效位（MSB）向最低有效位（LSB）进行贪心。

为什么选择按位贪心？

数值的大小主要由高位决定。如果能让第 位为 ，哪怕第 到 位全部变为 ，结果也往往比第 位为 要大。因此，我们优先尝试构建更高的位。

决策逻辑

假设我们已经确定了最终答案的前面若干位（存储在 current_ans 中），现在尝试判断第 位能否也置为 。

  • 候选目标：令 target = current_ans | (1 << k)。
  • 判定条件：是否存在一种划分方案，使得最终序列中每一个元素的二进制表示在 target 为 的所有位置上也都为 ？
    • 即：。

如果该 target 此条件可行，则更新 current_ans = target（即第 位确定为 ）；否则第 位只能为 。

3. 可行性判定 (Check Function)

如何快速判断给定的 target 是否合法？这里存在两种情况，只要满足任意一种即可判定为合法。

情况 A：最终序列合并为 1 个数

如果我们把整个数组全部合并成一个数，那么这个数的值就是原数组所有元素的异或总和（记为 TotalXor）。

  • 判断：如果 ，说明即使只剩这一个数，它也包含所有需要的位。这是一个合法的解。

情况 B：最终序列包含 个数

如果我们希望保留多个数，那么每一个数（即原数组的一个子段的异或和）都必须满足 (segment_xor & target) == target。 我们可以使用贪心策略来验证是否能划分出均满足条件的子段：

  1. 贪心划分：从左向右扫描数组，维护当前正在构建的子段的异或和 cur。
  2. 立即切割：一旦发现当前子段满足 (cur & target) == target，我们就立刻结束该段，计数器 count 加 1，并重置 cur = 0，开始寻找下一个段。
    • 原理：为了让后面的剩余部分更有可能满足条件，我们应当在找到满足条件的段时尽早“落袋为安”。延迟切割可能会导致异或和发生变化从而破坏已有的 。
  3. 完整性检查：
    • 扫描结束后，如果 cur == 0（说明最后一个段刚好完整结束，没有剩余“尾巴”）且 count >= 2，则说明可以将原数组完美切分为若干个满足条件的段。
    • 注意：如果 cur != 0，说明最后一段无法满足条件，必须将其合并到前一段。但前一段合并后可能就会失效。但在本题逻辑中，只要贪心划分能产生 个全合法段且无余数，即为可行。

综合判断

对于当前的 target，只要满足以下逻辑之一即返回 True：

  1. (TotalXor & target) == target
  2. 贪心划分能找到 个段，且无剩余元素。