Dijkstra算法 是一种单源点最短路算法求出一个点到其他所有点的最短路。
给你这样的一个图，需要求出1号点到其他点的最短距离是多少。
首先我们开一个数组 d[N]，d[x] 代表着从起点出发到x点的距离是多少。
开一个数组vis[N], vis[x]数组代表着某个点d[x]是不是成为定值，不会再变小了。
然后我们在开一个数组，edge[N][N]，edge[a][b] 代表着从a点走到b的路程是多少。
如果不存在 a->b的这条边，那么就将他设置为-1。
更新d数组的条件：d[a] > d[b] + edge[b][a] 的时候更新d[a]的值。
一开始我们将所有距离设置都设置 inf ( inf 意为无穷大）。
当然d[s] = 0;
所以对于刚开始的数组d[]来说他的值应该为
图的状态应该是
现在我们从1号点出发，图上存在一个 1->3的边 距离为 10 存在一个1->2的边 距离为20。
那么d[3] = min(d[3], d[1] + edge[1][3]) d[2] = min(d[2], d[1] + edge[1][2])
d数组即被更新成
其中vis[1] = 1，即这个点不会的距离不会在变小了。
我们扫一遍d数组，跳过vis[x] == 1的点，找到d[x]最小的点，通过上面的那个数组我们可以发现，这个点是3，
我们把 vis[3] = 1， 然后再通过3号点出发更新d[].
d数组的值为
然后我们继续找到d[x]最小的且没被标记过的点 由上表可知是点2
我们标记点2，然后再用2号点出发，看看有没有点的距离可以被更新成更小的。
当我们走完2号点的边的时候，图就会变成
d数组的结果为
我们继续找到d[x]最小的且没被标记过的点 由上表可知是点4
我们先标记4号点，然后通过点4出发，然后看一下出4号点出发，有没有点的d会被更新成更小的值
d数组的结果为
最后没标记过的点只有5了， 我们从5号点出发，看看有没有点会继续被更新。
我们得到最后的图就变成了
d数组最后就被更新成了
这样我们就进行完了dijkstra算法。
从原点出发到各个点的最短路径是多少就求出来了。
假设 d[a] < d[b] ， 并且存在edge[a][b] ， 那么因为边edge[a][b] > 0，那么不可能通过 b 点去更新 a 点， 只可能从a点出发然后到b点，使得d[b]的更小。
因为更新的条件是 d[b] > d[a] + edge[a][b]。 所以只有从d[]更小的点出发才有可能使得别的点更小。
总结下来的话，就是从原点出发，每次都选出当前距离里原点最近的点(跳过标记过的点）x，然后从x点出发，遍历x点的所有边，看一下是不是存在别的点可以通过点x往外走，使得原点到目标点的距离更小，并且标记一下点x，下次不会再选择x，因为x已经是最小的了。
每次都确立一个点，确立完一个点后需要其访问所有点去更新距离，总有由n个点
所以 时间复杂度是 n * 2n
https://www.cnblogs.com/MingSD/p/9740471.html
Dijkstra基本模板
void dijkstra(int x) //x为起点，使用迪杰斯特拉查找起点到其他任意点的最短路径
{
for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = w[x][i]; //dis[i]数组存储从x到i的最短路（迪杰斯特拉跑完之前不一定是最终解）
//w[i][j]数组存储从i到j的路径长度（这里用的邻接矩阵存储，也可以换成前向星等）
b[x] = 1; //b[i]数组存储此点是否被访问过
dis[x] = 0;
for(int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
minl = maxx;
k = 0;
for(int j = 1; j <= n; j++) //查找可以更新的点
if((!b[j]) && (dis[j] < minl))
{
minl = dis[j];
k = j;
}
if(k == 0) break; //这一句也可以换成if(k == y) break;表示已经更新完从x到y的最短路
b[k] = true; //更新k点，把k标记为已确定最短路径
for(int j = 1; j <= n; j++) //更新与k相连的每个未确定最短路径的顶点j
if(dis[k] + w[k][j] < dis[j])
dis[j] = dis[k] + w[k][j]; //可以加上pre[j] = k用来记录前驱节点
}
}
加入堆优化
如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。
接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。
输出格式：
一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）
输入输出样例
输入样例#1：
4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4
输出样例#1：
0 2 4 3
版本一（邻接矩阵存图）
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<list>
#include<string>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;
struct ha//小根堆
{
int x;
int d;//节点编号
bool operator < (const ha &a) const
{
return x > a.x;
}
};
struct haha//小根堆
{
int x;
int d;//节点编号
};
ha e;
haha ee;
int d[1000010];
priority_queue <ha> q;
int n, m, s, xx, yy, zz, i;
vector<haha> a[1000000];
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n ,&m ,&s);
for(i = 1; i <= m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&xx ,&yy ,&zz);
ee.d = yy;
ee.x = zz;
a[xx].push_back(ee);
}
for(i = 1; i <= n; i++) d[i] = 2000003647;
e.d = s;
e.x = 0;
d[s] = 0;
q.push(e);//入队
while (!q.empty())//队列非空
{
e = q.top(); q.pop();//出队
int v = e.d;//取出节点编号
int d1 = e.x;
if (d[v] < d1) continue;//说明在这个点再此之后又入队了
//此次出队的并不是s到这个点的最短路，
//所以在这次更新前点v所连的点已经更过一次了
//所以后面也不会进行松弛操作
int len = a[v].size();
for(i = 0; i < len; i++)
{
haha g = a[v][i];
if ((d[v] + g.x < d[g.d]) || (d[g.d] == -233))//松弛操作
{
d[g.d] = d[v] + g.x;
e.d = g.d;
e.x = d[g.d];
q.push(e);
}
}
}
for (i=1; i <= n; i++) //输出
if (d[i] == 2000003647) cout << 2147483647 << " "; else cout << d[i] << " ";
return 0;
}
版本二（前向星存图）
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int INF = 2147483647;
const int maxn = 10000 + 10;
const int maxm = 500000 + 10;
int n, m, s;
int fir[maxn], nxt[maxm], to[maxm], val[maxm], cnt;
void add_edge(int u, int v, int w) //前向星加边
{
nxt[++cnt] = fir[u];
fir[u] = cnt;
to[cnt] = v;
val[cnt] = w;
}
struct Node
{
int d, id;
Node(){}
Node(int d, int id) : d(d), id(id){}
bool operator < (const Node& rhs) const
{
return d > rhs.d;//重载 < 方便堆
}
};
int dis[maxn], vis[maxn];
void Dijkstra(int s)
{
for(int i = 1; i <= n; i++) dis[i] = INF;
dis[s]=0;
priority_queue<Node> Q;
Q.push(Node(0,s));
while(!Q.empty())
{
Node u = Q.top(); Q.pop();
if(vis[u.id]) continue; //若某个点已经被更新到最优,就不用再次更新其他点
vis[u.id] = 1;
for(int e = fir[u.id]; e; e = nxt[e])
{
int v = to[e], w = val[e];
if(u.d + w < dis[v])
{
dis[v] = u.d + w;
Q.push(Node(dis[v],v));
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n ,&m ,&s);
for(int u, v, w, i=0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&u ,&v ,&w);
add_edge(u, v, w);
}
Dijkstra(s);
for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", dis[i]);
return 0;
}
版本三（运用pair存储）
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<utility>
#include<vector>
#include<queue>
#define MAXN 20000
#define INF 2147483647
using namespace std;
typedef pair<int,int> pii;
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> > pq;
struct edge
{
int to;
int cost;
};
vector<edge> G[MAXN];//g[i]--i to g[i].to cost cost
int n, m, s;
int dis[MAXN];
void dijk(int s)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
dis[i] = INF;
dis[s] = 0;
pq.push(make_pair(0,s));
// cout<<dis[s]<<endl;
while(!pq.empty())
{
pii u = pq.top();
pq.pop();
int x = u.second; // bian hao
//cout<<x<<endl;
for(int i = 0; i < G[x].size(); i++)
{
edge e = G[x][i];
if(dis[e.to] > dis[x] + e.cost)
{
dis[e.to] = dis[x] + e.cost;
pq.push(make_pair(dis[e.to], e.to));
// cout<<dis[e.to]<<endl;
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m >> s;
int from, to, cost;
edge in;
for(int i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d%d",&from ,&to ,&cost);
in.to = to; in.cost = cost;
G[from].push_back(in);
}
// cout<<endl;
dijk(s);
for(int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d ", dis[i]);
return 0;
}
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