区间问题

区间选点

给定N个闭区间[ai,bi]，请你在数轴上选择尽量少的点，使得每个区间内至少包含一个选出的点。

输出选择的点的最小数量。

位于区间端点上的点也算作区间内。

输入格式
第一行包含整数N，表示区间数。

接下来N行，每行包含两个整数ai,bi，表示一个区间的两个端点。

输出格式
输出一个整数，表示所需的点的最小数量。

数据范围
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109

图片说明

//这个题和LeetCode第435题无重叠区间思想是一样的
func pointSelect(intervals [][]int) int{
    if len(intervals) == 0 || len(intervals[0]) == 0{
        return 0
    }
    sort.Slice(intervals,func(i,j int)bool{
        return intervals[i][1] < intervals[j][1]
    })   
    n := len(intervals)
    res,r := 1,intervals[0][1]
    for i := 1 ; i < n ; i++ {
        if intervals[i][0] > r {
            res ++
            r = intervals[i][1]
        }
    }
    return res
}

最大不相交区间数量

给定N个闭区间[ai,bi],请你在数轴上选择若干个区间，使得选中的区间之间互不相交（包括端点），输出可选区间的最大数量

func maxInterval(intervals [][]int) int{
    if len(intervals) == 0 || len(intervals[0]) == 0{
        return 0
    }
    sort.Slice(intervals,func(i,j int)bool{
        return intervals[i][1] < intervals[j][1]
    })   
    n := len(intervals)
    res,r := 1,intervals[0][1]
    for i := 1 ; i < n ; i++ {
        if intervals[i][0] > r {
            res ++
            r = intervals[i][1]
        }
    }
    return res
}

区间分组

给定N个闭区间[ai,bi],请你将这些区间分成若干组，使得每组内部的区间两两之间（包括端点）没有交集，并且使得组数尽可能小

图片说明
大家可以把这个问题想象成活动安排问题

有若干个活动，第i个活动开始时间和结束时间是[Si,ﬁ]，同一个教室安排的活动之间不能交叠，求要安排所有活动，最少需要几个教室？

有时间冲突的活动不能安排在同一间教室，与该问题的限制条件相同，即最小需要的教室个数即为该题答案。

我们可以把所有开始时间和结束时间排序，遇到开始时间就把需要的教室加1，遇到结束时间就把需要的教室减1,在一系列需要的教室个数变化的过程中，峰值就是多同时进行的活动数，也是我们至少需要的教室数。

func groupByInterval(intervals [][]int) int {
    n := len(intervals)
    if n == 0 || len(intervals[0])==0 {
        return 0
    }
    var temp []int
    for i := 0 ; i < n ; i++ {
        temp = append(temp,intervals[i][0]*2)
        temp = append(temp,intervals[i][1]*2 + 1)
    }
    sort.Ints(temp)
    res,t := 1,0
    for i := 0 ; i < len(temp) ; i++ {
        if t % 2 == 0 {
            t++
        }else{
            t--
        }
        res = max(res,t)
    }
    return res
}

区间覆盖

给定N个闭区间[ai,bi]以及一个线段区间[s,t]，请你选择尽量少的区间，将指定线段区间完全覆盖。输出最少的区间数，如果无法完全覆盖则输出-1
图片说明

func intervalCoverage(intervals [][]int,start int,end int) int{
    n := len(intervals)
    if n == 0 || len(intervals[0])==0 {
        return -1
    }
    sort.Slice(intervals,func(i,j int)bool{
        return intervals[i][0] < intervals[j][0]
    })
    res := 0
    success := false
    for i := 0 ; i < n ; i++ {
        j := i 
        r := -2e9
        for j < n && intervals[j][0] <= start{
            r := max(r,intervals[j][1]
            j++
        }
        if r < start {
            res = -1
            break
        }
        res ++
        if r >= end{
            success = true
            break
        }
        start = r
        i = j-1
    }
    if !success {res = -1}
    return res
}

哈夫曼树

合并果子

在一个果园里，达达已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。

达达决定把所有的果子合成一堆。

每一次合并，达达可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。

可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。

达达在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以达达在合并果子时要尽可能地节省体力。

假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使达达耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。

例如有3种果子，数目依次为1，2，9。

可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。

接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。

所以达达总共耗费体力=3+12=15。

可以证明15为最小的体力耗费值。

输入格式
输入包括两行，第一行是一个整数n，表示果子的种类数。

第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai是第i种果子的数目。

输出格式
输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。

输入数据保证这个值小于231。

数据范围
1≤n≤100001≤n≤10000
1≤ai≤200001≤ai≤20000
样例
输入样例：
3
1 2 9
输出样例：
15
图片说明

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);

    priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> heap;
    while (n -- )
    {
        int x;
        scanf("%d", &x);
        heap.push(x);
    }

    int res = 0;
    while (heap.size() > 1)
    {
        int a = heap.top(); heap.pop();
        int b = heap.top(); heap.pop();
        res += a + b;
        heap.push(a + b);
    }

    printf("%d\n", res);
    return 0;
}

排序不等式

排队打水

n个人排队到1个水龙头处打水，第i个人装满水桶所需要的时间是ti，请问如何安排他们的打水顺序才能使得所有人的等待时间之和最小？

//直接按照打水时间从小到大排序，这样就能保证所有人的等待之和最小
func waitingForWater(line []int) int{
    n := len(line)
    sort.Ints(line)
    res := 0
    for i := 0 ; i < n ; i++{
        res += line[i]*(n-i-1)
    }
    return res
}

绝对值不等式

货仓选址

在一个数轴上有n家商店，它们的坐标分别是A1-An。现在需要在数轴上建立一家货仓，每天清晨，从货仓到每家商店都要运送一车商品，为了提高效率，求把货仓建在哪里，可以使得货仓到每家商店的距离之和最小

func selecctAddress(store []int) int{
    n := len(store)
    sort.Ints(store)
    res := 0
    for i := 0 ; i < n ; i++{
        res += abs(store[i]-store[n/2])
    }
    return res
}
func abs(a,b int)int{
    if a-b > 0 {
        return a-b
    }
    return b-a
}

推公式

耍杂技的牛

农民约翰的N头奶牛（编号为1..N）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这N头奶牛中的每一头都有着自己的重量Wi以及自己的强壮程度Si。

一头牛只撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小

//按照wi+si从小到大的顺序排序，最大的危险系数一定是最小的，这个排序是最优的
func cow(w []int,s []int){
    res := -2e9
    sum := 0
    for i := 0 ; i < n ; i++ {
        res = max(res,sum-s[i])
        sum += w[i]
    }
    return res
}

贪心算法