题解 | #魔法棒#

问题的本质是对一个初始状态进行若干次“增量操作”。

初始状态：拥有 1 根魔法棒。
操作定义：将 1 根变为 $k^2$ 根。该操作消耗 1 根，产生 $k^2$ 根，因此每次操作的净增量 $\Delta$ 为： $\Delta = k^2 - 1$ 其中 $k$ 为正整数且 $k \ge 2$ （若 $k=1$ ，增量为 0，对结果无影响）。
目标方程：假设通过一系列操作，分别选择了 $k_1, k_2, \dots$ 进行分裂，最终数量 $x$ 需满足： $1 + \sum \Delta_i = x \implies \sum (k_i^2 - 1) = x - 1$
转化：判断目标整数 $S = x - 1$ 是否能被集合 $C = \{ k^2 - 1 \mid k \in \mathbb{Z}, k \ge 2 \}$ 中的元素通过非负整数线性组合表示。即判断是否存在非负整数 $a_1, a_2, \dots$ 使得： $a_1(2^2-1) + a_2(3^2-1) + \dots = x - 1$

数论特性分析（Frobenius Coin Problem）

集合 $C$ 的前几项为： $C = \{ 3, 8, 15, 24, 35, 48, \dots \}$ 观察集合中最小的两个元素 $3$ 和 $8$ ：

互质性： $\gcd(3, 8) = 1$ 。
根据 Frobenius Coin Problem（弗罗贝尼乌斯硬币问题） 的结论，对于两个互质的正整数 $a, b$ ，其非负整数线性组合不能表示的最大整数为 $a \cdot b - a - b$ 。
临界点计算：对于 $\{3, 8\}$ ，最大不可表示的数为： $3 \times 8 - 3 - 8 = 13$ 这意味着：任何大于 13 的整数 $S$ ，都可以仅通过 $3$ 和 $8$ 的组合得到。

完备性证明

虽然集合 $C$ 中还有 $15, 24, \dots$ 等更大的数，但对于 $S \le 13$ 的情况，使用比 $S$ 更大的数（如 $15$ ）是不可能的。因此，对于 $S \le 13$ 的情况，只需要考察是否能由 $3$ 和 $8$ 组成。对于 $S > 13$ 的情况，仅用 $\{3, 8\}$ 就已足够，更大元素的存在只会增加可行方案，不会减少。