23-1
把以上翻译成人话就是

边的权值不相同，证明最小生成树（MST）唯一，次优次小生成树（SST不唯一)
MST减一条自己的边+一条不属于他的边就是SST
令max（u，v）是两点间最大权值的边，用O（V^2）算法实现
算法计算SST

第一问
边的权值不相同，证明最小生成树（MST）唯一，次优次小生成树（SST不唯一)

假设T,T'都为MST，并且{e1,e2……en)∈T，{e'1,e'2……e'n}∈T'，因为权值都不相同，假设ek是所有边中最小的，连接的点时(u,v),而在T'中连接(u,v)的是e'k,因为w(ek)<w(e'k)这意味着如果T'用ek作为连接(u,v)的边，他可以更小，与T'为最小生成树矛盾，所有最小生成树唯一

SST不为一
如图，1,2,4为MST，但是可以看到SST有两条

第二问
MST减一条自己的边+一条不属于他的边就是SST

如果最小生成树T和次小生成树有两条边不同，即T' = T - {(u1, v1)} + {(x1, y1)} - {(u2, v2)} + {(x2, y2)}，则可以构造出一棵和最小生成树只有一条边不同的生成树T'' = T - {(u1, v1)} + {(x1, y1)}，使得w(T) < w(T'') < w(T')。这和T'是SST生成树矛盾，所以SST和MST只有一条边不同。

第三问
令max（u，v）是两点间最大权值的边，用O（V^2）算法实现

列出所有边的权重，由于权重都是随机排布的，先排序然后找到中值，然后不断朝右边做搜寻，最终找到权值最大的边，这样的算法是典型的找最值的办法，网上的方法很多，就不赘述了

第四问
算法计算SST(代码我目前的水平还写不了，本来想直接复制的，感觉不太负责任，想看的话网上可以搜）

先计算MST，然后再纳入一条不属于MST的（u,v），此时会形成环，所以去掉一条max(u,v),必须是(u,v)路线中属于MST的最大权，否则就得不到SST

从图中可以看出，蓝色边为MST，
此时连接CD，形成环，在环中找到除了新加入的边之外的最大权值边，就是BE然后删掉
就得到了SST


23-3
a所谓瓶颈生成树(Bottleneck spanning tree BST,不是二叉搜索树)，就是这颗树的最大权值的边是所有生成树中最小的，证明也很简单，模仿上题，用反证法

假设e为MST的最大权值边，连接着(u,v)两个点，那么存在BST，其连接(u,v)两点的边为e',,可知e'<e,也就是说MST中e换成e'后可以更小，与原假设矛盾，所有MST就是BST


b要让值最大不超过b,方法是去除掉图中所有值超过b的边，然后检验一下剩下的边是否可以形成一棵BST，可以使用广度优先遍历(BFS）或者深度优先遍历(DFS)，使用邻接表可以保证是线性时间算法


c这个理解起来有点复杂需要二分法+MSTREDUCE收缩
首先我们要理解一个概念:MSTREDUCE收缩
简单讲就是有两个点u,v，找到点间的最小权重的边w(u,v)那么就把两点合成一个点，以后只要有其他点连上其中一个，就顺带连上了另一个，照样可以生成最小生成树，同时也简化了图

现在我们用b中的算法进行检查，将所有权值从小到大排序，取中值分两半，在较小一半进行BFS，

如果能找到一棵树，那么意味着这棵树的最大权重边最多是整个图权重边的中位数，然后继续二分循环，直到找不到树为止，那么上一棵树就是BST

如果一开始就没有树，那么就收缩一次，然后按上面的方法计算
运行k次MST-REDUCE时间为O(kE)，故总时间为
O(kE’) + O(E+V’lgV‘)= O(kE+V‘lgV’)，由于每运行一次MST-REDUCE，顶点数目至少减半，故k次后,V‘ <= ((1/2)^k)V，最好情况k = lglgV时，时间为O(Elg(lgV))。



23-4
这道题看着挺长，其实很简单
a让证明将边按非递增排列，然后逐一减去最大的边，剩下的就是MST
正确，因为每次减掉的都是权值最大的边，所以作为MST组成部分的轻量边会一直保存，直到图中出现一棵树，那就是最小生成树

也可以这样理解，生成树的过程就是不断去掉环的过程，逐一减去最大的边意味着每次都把一个环中的权值最大的边去掉，最后必定生成最小生成树


b错误，因为去除的边是随机的，所以如果去掉了某个环中的轻量边，保留了权值较大的边，就不是MST

c正确，理由类似于a中的第二种方法