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构造数对

题目描述

给定一个正整数 ，请你构造一个由两个正整数 组成的数对，使其同时满足下列全部条件：

  2. 整除 （即 ）

若存在多个满足要求的数对，你可以输出其中任意一个；若不存在，则输出 -1。

解题思路

这是一个构造性的问题。题目要求我们找到任意一个满足条件的数对即可，这通常暗示我们可以尝试寻找一个非常简单的、通用的构造方案，而不是去复杂地搜索。

让我们来尝试一个最简单的构造：令 且 。现在我们来验证这个数对 是否满足所有条件。

  1. 条件 1:

    • 。只要给定的 ，这个条件就成立。

  2. 条件 2: 整除

    • 整除 。这总是成立的。

  3. 条件 3:

    • 当 是正整数时，这个不等式在 时成立。

  4. 条件 4:

    • 这个不等式同样在 时成立。

结论： 综合以上分析，我们发现只要 ，数对 就同时满足了所有四个条件。

特殊情况： 我们需要单独考虑 的情况。 当 时，根据条件 1，唯一可能的数对是 。 我们来验证这个数对：

  • 条件 1: (满足)
  • 条件 2: 整除 (满足)
  • 条件 3: (不满足)
  • 条件 4: (不满足) 由于条件 3 和 4 不满足，所以当 时，不存在满足条件的数对。

最终策略：

  • 如果输入的 为 ，则无解，输出 -1。
  • 如果输入的 大于 ，则数对 是一个有效的解，输出 和 。

这个策略非常简单，并且覆盖了所有情况。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

int main() {
    long long x;
    cin >> x;
    if (x == 1) {
        cout << -1 << endl;
    } else {
        cout << x << " " << x << endl;
    }
    return 0;
}

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        long x = sc.nextLong();
        if (x == 1) {
            System.out.println(-1);
        } else {
            System.out.println(x + " " + x);
        }
    }
}

x = int(input())
if x == 1:
    print(-1)
else:
    print(x, x)

算法及复杂度

  • 算法：数学构造
  • 时间复杂度：，只需要进行一次判断和输出。
  • 空间复杂度：，只需要常数级别的额外空间。