题解 | #2023河南萌新联赛第（三）场：郑州大学#

A

可以用线段树的样子。

B

$O (n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    vector<int> a(n);
    unordered_set<int> s;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        s.insert(a[i]);
    }
    int ans = 1;
    while (s.count(ans)) {
        ans++;
    }
    cout << min(k, ans) << '\n';

    return 0;
}

C

答案为 $\sum\limits_{i=1}^{n}d(i)\times d(n-i)$ 。

$d (x)$ 表示 $x$ 的因子数量， $d (1) = 1, d (2) = 2, d (3) = 2, d (4) = 3$ 。

$O(n\log n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> d(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = i; j <= n; j += i) {
            d[j]++;
        }
    }
    
    i64 ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans += 1LL * d[i] * d[n - i];
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

D

记 $d = s - 2 a$ ，首先 $x, y$ 是非负整数，则 $d < 0$ 一定 No。

再按位考虑，若 $d$ 和 $a$ 二进制有相同位为 $1$ 则 No。

$O (1)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

void solve() {
    i64 a, s;
    cin >> a >> s;
    i64 d = s - 2 * a;
    if (d < 0 || (d & a)) {
        cout << "No\n";
        return;
    }
    cout << "Yes\n";
}
            
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        solve();
    }
  
    return 0;
}

E

$O(n\log n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        int y = sqrt(x);
        if (y * y == x) {
            ans++;
        }
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}

F

记 $k=2^{n+1}$ ，答案为 $\sum\limits_{i=0}^{k-1}x^{i}$ 。

等比数列求和。

$x=1\pmod P$ ，为 $k$ 。

$x>1\pmod P$ ，为 $\frac{x^{k}-1}{x-1}$ 。

考虑降幂。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

constexpr int P = 998244353;

i64 power(i64 a, i64 b, int p = P) {
    i64 res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) {
        if (b & 1) {
            res = res * a % p;
        }
    }
    return res;
}

i64 inv(i64 x) {
    return power(x, P - 2);
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    i64 n, x;
    cin >> n >> x;
    x %= P;

    if (x == 1) {
        cout << power(2, n + 1) << '\n';
    } else {
        i64 k = power(2, n + 1, P - 1);
        cout << (power(x, k) - 1 + P) % P * inv(x - 1) % P << '\n';
    }
    
    return 0;
}

G

弱化版本：https://vjudge.csgrandeur.cn/problem/%E8%AE%A1%E8%92%9C%E5%AE%A2-42547

有一种做法是树状数组套主席树。

复杂度不会算。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

constexpr int inf = 1E9;
constexpr int N = 4E4;

struct node {
    int l, r;
    i64 sum;
} seg[N * 300];

int tot;

void add(int &t, int l, int r, int p, int v) {
    if (!t) {
        t = ++tot;
    }
    seg[t].sum += v;
    if (l == r) {
        return;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    if (p <= m) {
        add(seg[t].l, l, m, p, v);
    } else {
        add(seg[t].r, m + 1, r, p, v);
    }
}

i64 query(int &t, int l, int r, int p) {
    if (!t) {
        return 0;
    }
    if (l == r) {
        return seg[t].sum;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    if (p <= m) {
        return query(seg[t].l, l, m, p);
    } else {
        return seg[seg[t].l].sum + query(seg[t].r, m + 1, r, p);
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    vector<int> a(n);
    vector<int> tree(n);

    auto modify = [&](int i, int v) {
        for (i++; i <= n; i += i & -i) {
            add(tree[i - 1], 1, inf, abs(v), v);
        }
    };

    auto get = [&](int i, i64 v) {
        i64 res = 0;
        for (; i; i -= i & -i) {
            res += query(tree[i - 1], 1, inf, v);
        }
        return res;
    };

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        modify(i, a[i]);
    }

    for (int i = 0; i < q; i++) {
        int o;
        cin >> o;
        if (o == 1) {
            int x, y;
            cin >> x >> y;
            x--;
            modify(x, -a[x]);
            modify(x, y);
            a[x] = y;
        } else {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            l--;

            i64 ans = 0;
            while (1) {
                i64 p = min<i64>(inf, ans);
                
                i64 res = get(r, p) - get(l, p) + 1;
                if (res == ans) {
                    break;
                }
                ans = res;
            }
            cout << ans << '\n';
        }
    }

    return 0;
}

H

排个序，然后前缀和，要是 $\sum\limits_{j=0}^{i-1}a_{j}+1<a_i$ 那说明 $\sum\limits_{j=0}^{i-1}a_{j}+1$ 没有出现过。

$O(n\log n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a.begin(), a.end());
  
    vector<i64> sum(n + 1);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum[i + 1] = sum[i] + a[i];
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        if (sum[i] + 1 < a[i]) {
            cout << sum[i] + 1 << '\n';
            return 0;
        }
    }
    cout << sum[n] + 1 << '\n';
    
    return 0;
}

J

$O (n)$ 。

C++ Code


#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

template <class T>
T max(const vector<T> &a) {
    return *max_element(a.begin(), a.end());
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        if (x % 2) {
            a.push_back(x);
        }
    }
    cout << max(a) << '\n';
    
    return 0;
}

K

$O (n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;
    bool ok = 0;
    for (auto &si : s) {
        if (si == '(') {
            ok = 1;
        } else if (si == ',') {
            if (ok) {
                si = '.';
            }
        } else if (si == ')') {
            ok = 0;
        }
    }
    cout << s << '\n';
    
    return 0;
}

L

贪心。

$O(n\log n)$ 。

C++ Code

#include "bits/stdc++.h"

using namespace std;
using i64 = long long;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    
    int n, h;
    cin >> n >> h;

    vector<int> a(n), b(n);
    vector<pair<int, int>> v;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cin >> a[i] >> b[i];
        v.push_back({a[i], 0});
        v.push_back({b[i], 1});
    }
    sort(v.begin(), v.end(), greater());
    
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        if (v[i].second == 1) {
            h -= v[i].first;
            ans++;
        } else {
            ans += (h + v[i].first - 1) / v[i].first;
            break;
        }
    }
    cout << ans << '\n';

    return 0;
}