//学了这么久，还是这种简单题最适合我，难一点的就不会做，这道题是属于典型的动态规划。我写了三个代码，第一种比较好理解，后面两种是空间优化。

解题思路：因为是从左上角走到右下角，所以可以考虑从后往前推关系。当为右下角最后一个元素a（i，j）时，有两种路径可以到达，可以从上面下来，也可以从左边过来。所以要比较这两种情况，哪一个大，然后再加上a(i,j)就是最大值了，即dp[i][j] =max( dp[i-1][j] ,dp[i][j-1] )+a[i][j]。
dp[][]是存储前面路径最大值的二维数组。
如果是从0开始，要考虑第一列和第一行的特殊情况，因为在最顶上i=0时，无法从上面下来，只能从左边过来。j=0时同理。

优化：
优化是把dp从二维变成了一维。因为dp[j] = max(dp[j] +dp[j-1])+a[i][j]就能处理。括号中的dp[j]相当于从上面下来的dp[i-1][j]，因为j当前还没更新值，所以原来存里面的值就能代替。而dp[j-1]是前一步刚更新的值，相当于从左边过来的路径。

代码1：时间复杂度O（n*m） 空间复杂度（n*m）

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int row,col;
    int dp[25][25];
    int a[25][25];
    memset(dp,0,sizeof(dp)); //如果是输入多组就需要清空，
                             //但是本题只输入一次，不要也罢 
    memset(a,0,sizeof(a));  
    cin>>row>>col;         //scanf和printf比cin和cout快多了 
    for(int i=1; i <=row; i++)
        for(int j = 1; j <= col; j++)
            {
            cin >> a[i][j];    //因为是从1开始，所以可以避免掉许多麻烦 
            dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])+a[i][j]; //这是递推关系，也是这道题的灵魂 
          }
    cout<<dp[row][col]<<endl; 
    return 0;
}

下面是空间优化，把二维改成了一维，使得空间复杂度为O(1)了
这是从0开始存，有点麻烦，因为初值要考虑第一列和第一行 所以有很多if

代码2：时间复杂度不变，空间复杂度O（1），代码3相同。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int  row, col;
    int  dp[25];  
    int  a[25][25];
    memset(a,0,sizeof(a));
    scanf("%d %d",&row,&col);

    for(int i = 0; i < row; i++)
        for(int j = 0; j <col; j++)
            {
            scanf("%d",&a[i][j]);
            if(i==0){
                if(j==0)
                   dp[j] = a[i][j];
                else
                   dp[j] = dp[j-1] +a[i][j];
                   }
            else  if(j==0)
                      dp[j] = dp[j] + a[i][j];
            else
                      dp[j] = max(dp[j-1], dp[j]) + a[i][j];
            }
    printf("%d\n", dp[col-1]);
    return 0;
}

//这是从1开始，比较简洁！
代码3：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
int main(){
    int  row, col;
    int  dp[25];  
    int  a[25][25];
    memset(a,0,sizeof(a));
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    scanf("%d %d", &row, &col);
    for(int i = 1; i <= row; i++)
        for(int j = 1; j <= col; j++)
            {
            scanf("%d",&a[i][j]);
               dp[j] = max(dp[j-1], dp[j]) + a[i][j];
            }
    printf("%d\n", dp[col]);
    return 0;
}