嗯~ 今天总结一下快速幂的知识点

1.首先讲一下矩阵相乘

矩阵A与矩阵B相乘的前提条件：A矩阵的列必须和矩阵B的行相等。若A矩阵是m*p的矩阵，那么B矩阵必定是p*n的矩阵，最后A*B得到的矩阵C是m*n的矩阵。

其中矩阵C的第 i 行第 j 列元素是矩阵A的第 i 行元素与矩阵B的第j列相应元素的乘积之和。

举个栗子，如下所示：

2.整数快速幂

为了引出快速幂的好处，我们根据下面的栗子来认识一下快速幂算法的优化之处。

例如我们要求x^8，暴力的方法就是用x乘7次，但是如果我们这样算：（x*x）（x*x）（x*x）（x*x）， 那我们就只用算出x*x，然后用x*x乘3次就可以得到结果，这样总共就乘了4次，所以我们就引入快速幂的算法。

由我们引进了2进制的知识。

由于如果幂太小的话，就体现不出快速幂算法的优化了，所以这里我们用x^21做栗子，

，（21的二进制是10101）。

由上面可以看出二进制位中如果是1的话就乘，如果是0的话就不用乘，

下面是用整数快速幂求（ x^n）%k 的核心代码：

int QuickPow(int x,int n,int k)
{
    int ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n&1)///&运算，如果k的二进制中最后一位是1的话结果就是1，如果是0的话结果就是0
            ans = (ans * x) % k;
        x = (x * x) % k;
        n = n >> 1;///k的二进制数右移一位
    }
    return ans;
}

（补充一下&运算的知识）如下图.

3.矩阵快速幂

有了整数快速幂的基础之后，矩阵快速幂就简单多了。

下面是用矩阵快速幂求n*n的矩阵S^k的核心代码：

///矩阵类结构体
struct matrix
{
    int m[20][20];
}S;
matrix matrix_multiply(matrix A,matrix B)///求矩阵的乘积
{
    matrix C;
    for(int i = 1; i <= n; i++)///初始化为0矩阵
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            C.m[i][j] = 0;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            for(int k = 1; k <= n; k++)
                C.m[i][j] = (C.m[i][j] +A.m[i][k]*B.m[k][j]) % Mod;
        }
    }
    return C;
}
matrix QuickPow(int k)
{
    matrix ans;///ans初始化为单位矩阵
    for(int i = 1; i <= n; i++)///单位矩阵乘任何矩阵都等于矩阵本身
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            ans.m[i][j] = 0;
        ans.m[i][i] = 1;
    }
    while(k)
    {
        if(k&1)
            ans = matrix_multiply(ans,S);
        S = matrix_multiply(S,S);
        k = k >> 1;
    }
    return ans;
}