我们看一下本节的几句重点

  1. n 维度向量空间 R n R^n Rn 中的零空间 N ( A ) N(A) N(A) 包含所有的 A x = 0 Ax = 0 Ax=0 的解，由于 x=0也是它的解，所以这个零空间也包含 x = 0。
  2. 消元并不会改变零空间， A （ 普 通 矩 阵 ） 、 U （ 行 阶 梯 型 矩 阵 ） 、 R （ 化 简 后 的 行 阶 梯 矩 阵 ） A （普通矩阵）、U（行阶梯型矩阵）、R（化简后的行阶梯矩阵） A（普通矩阵）、U（行阶梯型矩阵）、R（化简后的行阶梯矩阵）都不会改变
  3. rref: recuded row echelon form，化简后的行阶梯矩阵所有的主元都是1，主元存在的每一列除了主元都是零
  4. 如果某一列 j j j 没有主元，那么可以设结果向量中 c o l u m n j column_j columnj​ 对应的 x j x_j xj​ 为1，由其他非零主元对应的结果为零，来求得相应的特解。大家有可能不太理解这句话，可以举个例子，这个矩阵是已经化简好的一个行阶梯矩阵
    R = [ 1 0 a 0 c 0 1 b 0 d 0 0 0 1 e 0 0 0 0 0 ] R = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & a & 0 & c\\ 0 & 1 & b & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 1 & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] R=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​ab00​0010​cde0​⎦⎥⎥⎤​
    那么我们知道，它的零空间是由一组向量线性组合构成的，我们设某个向量为
    [ x i x j x k x l x m ] \left[ \begin{matrix} x_i\\ x_j\\ x_k\\ x_l\\ x_m\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡​xi​xj​xk​xl​xm​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
    R = [ 1 0 a 0 c 0 1 b 0 d 0 0 0 1 e 0 0 0 0 0 ] × [ x i x j x k x l x m ] = 0 R = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & a & 0 & c\\ 0 & 1 & b & 0 & d \\ 0 & 0 & 0 & 1 & e \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right] \times \left[ \begin{matrix} x_i\\ x_j\\ x_k\\ x_l\\ x_m\\ \end{matrix} \right] = 0 R=⎣⎢⎢⎡​1000​0100​ab00​0010​cde0​⎦⎥⎥⎤​×⎣⎢⎢⎢⎢⎡​xi​xj​xk​xl​xm​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=0
    x i x_i xi​ 就对应着 x i x_i xi​倍的R的第一列， x j x_j xj​ 就对应着 x j x_j xj​倍的R的第二列，以此类推，然后把这几列对应着加起来。
    我们可以发现，非主元列对应的系数为 x k x_k xk​ 和 x m x_m xm​， 我们可以设 x k = 1 , x m = 0 x_k = 1, x_m = 0 xk​=1,xm​=0 ，那么我们可以看到，第一列是主元，只有第一个数是1，它可以用来消灭a，第二列的1可以用来消灭b，第四列也是主元，没有需要让它消灭的，所有可以设置它的系数为0，我们可以轻松的得到一个特解:
    S 1 = [ − a − b 1 0 0 ] S_1 = \left[ \begin{matrix} -a\\ -b\\ 1\\ 0\\ 0\\ \end{matrix} \right] S1​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​−a−b100​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​
  5. 任何行数大于列数的矩阵，零空间中都有非零解。